Bài tập 25, § 2

Cho A là một vành, giao hoán hay không, và cho $\sigma$ là một tự đồng cấu của A. Trên nhóm tích cộng tính $E = A^\mathbf{N}$ xác định một luật hợp thành nội bằng cách viết $(\alpha_n)(\beta_n) = (\gamma_n)$, trong đó $\gamma_n = \sum_{p+q=n} \alpha_p \sigma^p(\beta_q)$ (với quy ước $\sigma^0(\xi) = \xi$).

(a) Chứng minh rằng luật này, cùng với phép cộng trên E, xác định một cấu trúc vành trên E, nhận dãy $(\alpha_n)$ trong đó $\alpha_0 = 1$ và $\alpha_n = 0$ với $n \geq 1$ làm phần tử đơn vị $e$. Ánh xạ gán cho mỗi $\xi \in A$ phần tử $(\alpha_n) \in E$ sao cho $\alpha_0 = \xi, \alpha_n = 0$ với $n \geq 1$, là một đẳng cấu của A lên một vành con của E, với vành con đó ta đồng nhất A. Khi đó ta viết $\sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ thay cho $(\alpha_n)$ và $X^p \beta = \sigma^p(\beta) X^p$ với mọi $\beta \in A$; nếu $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n \neq 0$, số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $\alpha_n \neq 0$ được gọi là cấp của u và được ký hiệu bởi $\omega(u)$.

(b) Nếu A là một vành không có ước của 0 và $\sigma$ là một đẳng cấu của A lên một vành con của A, chứng minh rằng E là một vành không có ước của 0 và

với $u \neq 0$ và $v \neq 0$.

(c) Để $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $\alpha_0$ khả nghịch trong A.

(d) Giả sử A là một trường và $\sigma$ là một tự đẳng cấu của A. Chứng minh rằng E có một trường các phân thức trái (I, § 9, Bài tập 15) và trong trường F này mọi phần tử $\neq 0$ đều có thể được viết duy nhất dưới dạng $u X^{-h}$, trong đó u là một phần tử của E có cấp 0.