Exercice 25, § 2

Soit A un anneau commutatif ou non, et soit σ un endomorphisme de A. Sur le groupe additif produit $E = A^{\mathbf{N}}$ on définit une loi de composition en posant (αₙ)(βₙ) = (γₙ), où γₙ = $\sum_{p+q=n} \alpha_p\sigma^p(\beta_q)$ (avec la convention σ⁰(ξ) = ξ).

a) Montrer que cette loi définit, avec l’addition dans E, une structure d’anneau sur E, admettant comme élément unité e la suite (αₙ) où α₀ = 1 et αₙ = 0 pour n ≥ 1. L’application qui, à tout ξ ∈ A, fait correspondre l’élément (αₙ) ∈ E tel que α₀ = ξ, αₙ = 0 pour n ≥ 1, est un isomorphisme de A sur un sous-anneau de E, auquel on l’identifie. On écrit alors $\sum_{n=0}^\infty \alpha_nX^n$ au lieu de (αₙ), et l’on a $X^p\beta = \sigma^p(\beta)X^p$ pour tout β ∈ A; si $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_nX^n \neq 0$, le plus petit entier n tel que αₙ ≠ 0 est appelé l’ordre de u et noté ω(u).

b) Si A est un anneau sans diviseur de 0 et si σ est un isomorphisme de A sur un sous-anneau de A, montrer que E est un anneau sans diviseur de 0 et qu’on a $\omega(uv) = \omega(u) + \omega(v)$ pour $u \neq 0$ et $v \neq 0$.

c) Pour que $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_nX^n$ soit inversible, il faut et il suffit que α₀ soit inversible dans A.

d) On suppose que A soit un corps, et σ un automorphisme de A. Montrer que E admet un corps des quotients à gauche (I, p. 155, exerc. 15) et que dans ce corps F, tout élément ≠ 0 s’écrit d’une seule manière sous la forme $uX^{-h}$, où u est un élément de E d’ordre 0.