Bài tập 26, § 2

(a) Cho A và B là hai tập con được sắp tốt của $\mathbf{R}$ (chúng nhất thiết đếm được; xem Tôpô đại cương, IV, § 2, Bài tập 1). Chứng minh rằng $A + B$ là được sắp tốt và rằng, với mọi $c \in A + B$, chỉ tồn tại một số hữu hạn cặp có thứ tự $(a, b)$ sao cho $a \in A, b \in B$ và $a + b = c$ (để chứng minh rằng một tập con khác rỗng của $A + B$ có phần tử nhỏ nhất, hãy xét cận dưới lớn nhất của nó trong $\mathbf{R}$).

(b) Cho K là một trường giao hoán. Trong không gian vectơ $K^\mathbf{R}$, xét không gian con E gồm các phần tử $(\alpha_x)$ sao cho tập hợp (phụ thuộc vào $(\alpha_x)$) gồm các $x \in \mathbf{R}$ sao cho $\alpha_x \neq 0$ là được sắp tốt. Với hai phần tử bất kỳ $(\alpha_x)$, $(\beta_x)$ của E, ta viết $(\alpha_x)(\beta_x) = (\gamma_x)$, trong đó $\gamma_x = \sum_{y+z=x} \alpha_y \beta_z$ (một tổng có nghĩa nhờ (a)). Chứng minh rằng luật hợp thành này xác định, cùng với phép cộng, một cấu trúc trường trên E; các phần tử của E cũng được ký hiệu bởi $\sum_{t \in \mathbf{R}} \alpha_t X^t$ và được gọi là chuỗi lũy thừa hình thức với các số mũ thực được sắp tốt, với các hệ số trong K.