Exercice 26, § 2

a) Soient A et B deux parties bien ordonnées de R (qui sont nécessairement dénombrables; cf. TG, IV, §2, exerc. 1). Montrer que A + B est bien ordonné et que, pour tout c ∈ A + B, il n’existe qu’un nombre fini de couples (a, b) tels que a ∈ A, b ∈ B et a + b = c (pour montrer qu’une partie non vide de A + B a un plus petit élément, on considérera sa borne inférieure dans R).

b) Soit K un corps commutatif. Dans l’espace vectoriel $K^{\mathbf{R}}$, on considère le sous-espace vectoriel E formé des éléments (αₓ) tels que l’ensemble (dépendant de (αₓ)) des x ∈ R tels que αₓ ≠ 0 soit bien ordonné. Pour deux éléments quelconques (αₓ), (βₓ) de E, on pose (αₓ)(βₓ) = (γₓ), où $\gamma_x = \sum_{y+z=x} \alpha_y\beta_z$ (somme qui a un sens en vertu de a)). Montrer que cette loi définit, avec l’addition, une structure de corps sur E; les éléments de E sont encore notés $\sum_{t\in\mathbf{R}} \alpha_tX^t$ et appelés séries formelles à exposants réels bien ordonnés, à coefficients dans K.*