Bài tập 3, § 2

(a) Cho K là một trường giao hoán. Chứng minh rằng, để K là tâm của một đại số quaternion kiểu $(\alpha, \beta, \gamma)$ trên K, điều kiện cần và đủ là một trong các trường hợp sau đây xảy ra: (1) $\beta \gamma \neq 0$; (2) $\gamma = 0, \beta \neq 0$ và $\beta^2 + 4\alpha \neq 0$; (3) $\beta = 0, \alpha \neq 0$ hoặc $\gamma \neq 0$ và $2 \neq 0$ trong K.

(b) Cho K là một trường giao hoán sao cho $2 \neq 0$ trong K; chứng minh rằng đại số quaternion trên K kiểu $(1, \gamma)$ đẳng cấu với đại số ma trận $M_2(K)$ (xét cơ sở của đại số này gồm các phần tử $\frac{1}{2}(1+i)$, $\frac{1}{2}(1-i)$, $(j+k/2\gamma)$, $\frac{1}{2}(j-k)$).

(c) Cho K là một trường giao hoán sao cho $2 \neq 0$ trong K và cho E là đại số quaternion trên K kiểu $(\alpha, \gamma)$. Một quaternion $z \in E$ được gọi là thuần nếu $\overline{z} = -z$ (hoặc cũng là $T(z) = 0$). Chứng minh rằng nếu $z$ là thuần, thì mọi quaternion $tzt^{-1}$ cũng là thuần, trong đó $t \in E$ là khả nghịch.

(d) Nếu $u, v$ là hai quaternion bất kỳ, thì $uv - vu$ là thuần. Suy ra rằng nếu $u, v, w$ là ba quaternion bất kỳ, thì

(e) Chứng minh rằng nếu tồn tại trong $E$ một quaternion $z \neq 0$ sao cho $N(z) = 0$, thì cũng tồn tại một quaternion thuần $z' \neq 0$ sao cho $N(z') = 0$. (Chú ý, theo ký hiệu của công thức (33) (no. 5), rằng, nếu $\alpha$ không là một bình phương trong $K$, sự tồn tại của $z \neq 0$ trong $E$ sao cho $N(z) = 0$ tương đương với sự tồn tại của một phần tử $y \in K + Ki$ sao cho $\gamma = N(y)$.)

5. Trên một trường giao hoán $K$ trong đó $2 = 0$, mọi đại số quaternion $E$ kiểu $(\alpha, 0, \gamma)$ đều giao hoán và bình phương của mọi $x \in E$ thuộc về K; đại số con $K(x)$ của E sinh bởi một phần tử $x \in K$ do đó là một đại số bậc hai kiểu $(\lambda, 0)$ trên $K$ và E là một đại số bậc hai trên $K(x)$.

Chứng minh rằng tập hợp $C$ gồm các $x \in E$ có bình phương bằng bình phương của một phần tử của $K$ là một không gian con vectơ của $E$ có chiều bằng 1, 2 hoặc 4. Nếu $C$ có chiều 1 (trong trường hợp này $C = K$), thì $E$ là một trường. Nếu $C$ có chiều 2, tồn tại một đại số bậc hai $K(x)$ được chứa trong $E$ là một trường và $E$ có một cơ sở trên $K(x)$ gồm hai phần tử 1 và $u$ với $u^2 = 0$; tập hợp các $y \in E$ sao cho $y^2 = 0$ là một iđêan $a$ có chiều 2 trên $K$ và $E/a$ đẳng cấu với $K(x)$. Cuối cùng, nếu $C$ có chiều 4 (và do đó bằng $E$), tập hợp $a$ gồm các $y \in E$ sao cho $y^2 = 0$ là một iđêan có chiều 3 và $E/a$ đẳng cấu với $K$; tồn tại trong $E$ một cơ sở $(1, e_1, e_2, e_3)$ sao cho $e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = 0$, $e_1 e_2 = e_3$, $e_1 e_3 = e_2 e_3 = 0$; $Ke_3 = b$ là iđêan duy nhất có chiều 1 trong $E$, $b$ là linh hóa tử của $a$ và $a/b$ là tổng trực tiếp của hai iđêan của $E/b$, có chiều 1, triệt tiêu lẫn nhau.

6. Cho $K$ là một trường giao hoán trong đó $2 \neq 0$ và $E$ là một đại số quaternion trên $K$ kiểu $(0, 0, \gamma)$. (a) Nếu $\gamma$ không là một bình phương trong $K$, không tồn tại iđêan trái (tương ứng phải) nào trong $E$ có chiều 1 trên $K$; tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 2 trên $K$ và $E/a$ là một trường, một đại số bậc hai trên $K$. (b) Nếu $\gamma$ là một bình phương $\neq 0$ trong $K$, tồn tại trong $E$ một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$ với bảng phép nhân sau:

<bảng> <tr> <th></th> <th>e_1</th> <th>e_2</th> <th>e_3</th> <th>e_4</th> </tr> <tr> <th>e_1</th> <td>e_1</td> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_2</th> <td>0</td> <td>e_2</td> <td>0</td> <td>e_4</td> </tr> <tr> <th>e_3</th> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_4</th> <td>e_4</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> </bảng>

Tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 2, là tổng trực tiếp của hai iđêan hai phía $Ke_3$ và $Ke_4$ triệt tiêu lẫn nhau; các iđêan sau là những iđêan duy nhất (trái hoặc phải) có chiều 1 trong $E$. Đại số thương $E/a$ đẳng cấu với tích của hai trường đẳng cấu với $K$.

(c) Nếu $\gamma = 0$, tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 3; $Kk = b$ là iđêan duy nhất (trái hoặc phải) có chiều 1 trong $E$; nó là một iđêan hai phía, linh hóa tử trái và phải của $a$. Trong đại số thương $E/b$, $a/b$ là tổng trực tiếp của hai iđêan hai phía có chiều 1 triệt tiêu lẫn nhau; cuối cùng $E/a$ là một trường đẳng cấu với $K$.

7. Cho $K$ là một trường giao hoán trong đó $2 \neq 0$ và $E$ là đại số trên $K$ có cơ sở gồm bốn phần tử $1, i, j, k$ (1 là phần tử đơn vị) với bảng phép nhân

Chứng minh rằng $E$ đẳng cấu với tích của bốn trường đẳng cấu với $K$ (xét cơ sở của $E$ gồm các phần tử $(1 + \varepsilon i)(1 + \varepsilon' j)$, trong đó $\varepsilon$ và $\varepsilon'$ bằng 1 hoặc $-1$).

Đại số $E$ là đại số (trên $K$) của tích của hai nhóm cyclic có cấp 2. Tổng quát hóa điều này cho đại số của nhóm tích của $n$ nhóm cyclic có cấp 2 (xem § 4, no. 1, Ví dụ 2).

8. Nhóm quaternion $Q$ (I, § 6, Bài tập 4) đẳng cấu với nhóm nhân của tám quaternion $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ trong đại số quaternion kiểu $(-1, -1)$ trên một trường trong đó $2 \neq 0$. Chứng minh rằng đại số của nhóm $Q$ trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ đẳng cấu với tích của bốn trường đẳng cấu với $K$ và đại số quaternion kiểu $(+1, -1)$ trên $K$ (nếu $c$ là phần tử của $Q$ tương ứng với quaternion $-1$, các phần tử của $Q$ có thể được viết là $e, i, j, k, c, ci, cj, ck$; xét cơ sở của $E$ gồm các phần tử $\frac{1}{2}(e + c), \frac{1}{2}(e - c), \frac{1}{2}(e + c)i, \frac{1}{2}(e - c)i, \frac{1}{2}(e + c)j, \frac{1}{2}(e - c)j, \frac{1}{2}(e + c)k, \frac{1}{2}(e - c)k$).

9. (a) Chứng minh rằng đại số $E$ của nhóm nhị diện $D_4$ cấp 8 (I, § 6, Bài tập 4) trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ là đẳng cấu với tích của bốn trường đẳng cấu với $K$ và đại số các ma trận cấp 2 trên $K$. (Nếu $a, b$ là hai phần tử sinh của $D_4$ được đưa vào trong I, § 6, Bài tập 4, các phần tử của $D_4$ có thể được viết dưới dạng $a^i b^j$ với $0 \leq i \leq 3, 0 \leq j \leq 1$; xét cơ sở của $E$ gồm bốn phần tử $\frac{1}{2}(e + a^2), \frac{1}{2}(e - a^2), \frac{1}{2}(a + a^3), \frac{1}{2}(a - a^3)$ và bốn phần tử này nhân bên phải với $b$; sử dụng Bài tập 4.) Suy ra rằng, nếu $-1$ là một bình phương trong $K$, các đại số trên $K$ của các nhóm không đẳng cấu $Q$ và $D_4$ là đẳng cấu.

(b) Chứng minh tương tự rằng đại số $F$ của nhóm nhị diện $D_3$ cấp 6 trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ và $3 \neq 0$ là đẳng cấu với tích của hai trường đẳng cấu với $K$ và đại số ma trận cấp 2 trên $K$ (xét ở đây cơ sở của $F$ gồm các phần tử $e + a + a^2, a + a^2 - 2e, a - a^2$ và ba phần tử này nhân bên phải với $b$).

10. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng, nếu $a$ là iđêan hai phía của đại số nhóm $A^{(G)}$, sinh bởi các phần tử $ts - s$, trong đó $t$ chạy qua H và $s$ chạy qua G, thì đại số nhóm $A^{(G/H)}$ là đẳng cấu với đại số thương $A^{(G)}/a$.

11. Cho A là một vành giao hoán và S là một nửa nhóm giao hoán có phần tử đơn vị $e$. Giả sử rằng một phép toán ngoài $(s, x) \mapsto x^s$ được cho trên A với S làm miền các toán tử, sao cho, với mọi $s \in S$, ánh xạ $x \mapsto x^s$ là một tự đẳng cấu của vành A và $(x^s)^t = x^{st}$ với mọi $x \in A$ và $s$ và $t$ trong S (điều này suy ra rằng $e$ là toán tử đơn vị đối với phép toán ngoài đã xét). Khi đó một luật hợp thành nội tại nhân được định nghĩa trên A-môđun $A^{(S)}$, có cơ sở chính tắc được ký hiệu bởi $(b_s)$, bởi quan hệ

trong đó các $a_{s,t}$ thuộc A.

Chứng minh rằng luật này và phép cộng trên $A^{(S)}$ định nghĩa một cấu trúc vành trên tập hợp này, với điều kiện các $a_{s,t}$ thỏa mãn các điều kiện

với mọi $s, t, u$ trong S. Phần tử $b_e$ là phần tử đơn vị của vành này nếu thêm cả

với mọi $s \in S$; trong trường hợp đó A có thể được đồng nhất với một vành con của $A^{(S)}$ và nếu C ký hiệu vành con của A gồm các phần tử bất biến đối với tất cả các tự đẳng cấu $x \mapsto x^s$, $A^{(S)}$ là một đại số trên C, được gọi là tích chéo của vành A và nửa nhóm S, đối với hệ nhân tử $(a_{s,t})$. Nếu hệ nhân tử $(a_{s,t})$ được thay bởi $\left( \frac{c_s c_t^s}{c_{st}} a_{s,t} \right)$, trong đó, với mọi $s \in S$, $c_s$ là một phần tử khả nghịch của A và $c_e = 1$, tích chéo mới thu được là đẳng cấu với tích chéo được xác định bởi hệ nhân tử $(a_{s,t})$.

Nếu trong trường hợp riêng A được lấy là một đại số bậc hai trên một vành C và S là một nhóm cyclic cấp 2, giả sử $\{e, s\}$, sao cho $x^s = \bar{x}$ với $x \in A$, hãy chứng minh rằng mọi tích chéo của A và S là một đại số quaternion trên C.

12. Cho I là một tập hợp khác rỗng. Hãy chứng minh rằng các phần tử của magma tự do $M(I)$ có thể được đồng nhất với các dãy $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ ($n$ là một số nguyên tùy ý $\geq 1$) trong đó các $a_i$ hoặc là các phần tử của I hoặc là một ký hiệu đặc biệt P (biểu diễn "ngoặc mở"), sao cho các dãy này thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Độ dài $n$ của dãy bằng hai lần số ký hiệu P xuất hiện trong nó, cộng với 1.

(iii) Với mọi $k \leq n - 1$, số ký hiệu P xuất hiện trong dãy con $(a_i)_{1 \leq i \leq k}$ là $\geq k/2$.

(Dùng Lý thuyết Tập hợp, I, Phụ lục để gắn với mỗi dãy $(a_i)$ một phần tử của $M(I)$; chẳng hạn, dãy PPPxyzPxy tương ứng với từ $((xy)z)(xy)$.)

¶13. Cho A là một vành giao hoán và E là một A-môđun. Một A-môđun $E_n$ được xác định bằng quy nạp bằng cách viết

Ta viết $ME = \bigoplus_{n=1}^\infty E_n$ và một cấu trúc đại số trên A được xác định trên ME bằng cách đặt, với $x_p \in E_p$ và $x_q \in E_q$, $x_p x_q = x_p \otimes x_q \in E_{p+q}$.

(a) Hãy chứng minh rằng với mọi đại số trên A B và mọi ánh xạ A-tuyến tính $f : E \to B$, tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số trên A $ME \to B$ mở rộng f. ME được gọi là đại số tự do của A-môđun E.

(b) Một số nguyên $a(n)$ được xác định bằng quy nạp theo n bởi các công thức

Hãy chứng minh rằng $E_n$ là đẳng cấu với tổng trực tiếp của $a(n)$ môđun đẳng cấu với $E^{\otimes n}$.

(c) Cho $f(T)$ là chuỗi lũy thừa hình thức $\sum_{n=1}^\infty a(n)T^n$. Hãy chứng minh rằng

Hãy suy ra các công thức

(d) Nếu I là một tập hợp bất kỳ và $E = A^{(I)}$, hãy chứng minh rằng $Lib_A(I)$ được đồng nhất với ME. Có các đồng cấu chính tắc $M(I) \xrightarrow{\omega} N^{(I)} \xrightarrow{l} N$ mà hợp thành của chúng là độ dài trong $M(I)$; $\omega(m)$ được gọi là đa bậc của $m \in M(I)$; ánh xạ $\omega$ xác định trên $Lib_A(I)$ một phép phân bậc kiểu $N^{(I)}$. Hãy chứng minh rằng tập hợp $(Lib_A(I))_\alpha$ các phần tử thuần nhất có đa bậc $\alpha \in N^{(I)}$ theo phép phân bậc này là một A-môđun tự do có hạng bằng

trong đó $\alpha! = \prod_{i \in I} (\alpha(i))!$ và $n = \sum_{i \in I} \alpha(i) = l(\alpha)$ là độ dài của $\alpha$.

14. (a) Cho M là một nửa nhóm mà luật hợp thành của nó được ký hiệu bởi T; giả sử thêm rằng M được sắp thứ tự toàn phần bởi một quan hệ thứ tự x ≤ y sao cho các quan hệ x < y và x' ≤ y', hoặc x ≤ y và x' < y', kéo theo x T x' < y T y'. Hãy chứng minh rằng nếu A là một miền nguyên, đại số trên A của nửa nhóm M không có ước của 0.

(b) Hãy suy ra rằng nếu A là một miền nguyên, mọi đại số đa thức A[(X_i)_{i \in I}] là một miền nguyên.

(c) Nếu A là một miền nguyên và f và g là hai đa thức trong A[(X_i)_{i \in I}] sao cho fg là thuần nhất và ≠0, hãy chứng minh rằng f và g là thuần nhất. Đặc biệt, các phần tử khả nghịch của vành A[(X_i)_{i \in I}] là các phần tử khả nghịch của vành A.

15. Cho A là một vành giao hoán và n là một số nguyên ≥2 sao cho với mọi a ∈ A phương trình nx = a có một nghiệm x ∈ A. Cho m là một số nguyên ≥1 và u là một đa thức trong A[X] có dạng X^{mn} + f(X), trong đó f có bậc ≤ mn − 1; hãy chứng minh rằng tồn tại một đa thức v ∈ A[X] có dạng X^m + w, trong đó w có bậc ≤ m − 1, sao cho u − v^n bằng không hoặc có bậc < m(n − 1).

16. Cho A là một vành giao hoán và u = \sum_{k=0}^m a_k X^k là một ước của 0 trong vành A[X]. Hãy chứng minh rằng nếu v = \sum_{k=0}^n b_k X^k là một phần tử ≠0 của A[X] có bậc n sao cho uv = 0, thì tồn tại một đa thức w ≠ 0 có bậc ≤ n − 1 sao cho uw = 0. (Rút gọn về trường hợp b_0 ≠ 0; nếu a_kv = 0 với 0 ≤ k ≤ m − 1, hãy chứng minh rằng có thể lấy w = b_0; nếu a_kv = 0 với 0 ≤ k < p ≤ m − 1 và a_p v ≠ 0, hãy chứng minh rằng a_p b_0 = 0 và do đó có thể lấy w = \sum_{k=0}^{n-1} a_p b_{k+1} X^k.) Hãy suy ra rằng tồn tại một phần tử c ≠ 0 của A sao cho cu = 0.

17. Cho A là một vành giao hoán. Hãy chứng minh rằng, trong đại số A[X] của các đa thức theo một bất định trên A, ánh xạ (u, v) ↦ u(v) là một luật hợp thành kết hợp và phân phối trái đối với phép cộng và phép nhân trong A[X]. Nếu A là một miền nguyên, hãy chứng minh rằng hệ thức u(v) = 0 kéo theo u = 0 hoặc v là hằng và rằng, nếu u ≠ 0 và bậc của v là > 0, bậc của u(v) bằng tích các bậc của u và v.

18. Cho K là một trường giao hoán và K[X] là vành đa thức với một bất định trên K. Chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu s của vành K[X] đều giữ K bất biến (Bài tập 14(c)) và gây ra trên K một tự đẳng cấu của trường này; chứng minh thêm rằng nhất thiết s(X) = aX + b, với a ≠ 0 trong K và $b \in K$ (xem Bài tập 17). Ngược lại, chứng minh rằng việc cho một tự đẳng cấu $\sigma$ của $K$ và hai phần tử $a, b$ của $K$ sao cho $a \neq 0$ xác định duy nhất một tự đẳng cấu s của $K[X]$ sao cho $s|K = \sigma$ và $s(X) = aX + b$. Nếu $G$ là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của vành $K[X]$ và $N$ là nhóm con của $G$ gồm cấu trúc $K$-đại số của $K[X]$, chứng minh rằng $N$ là một nhóm con chuẩn của $G$ và rằng $G/N$ là đẳng cấu với nhóm tự đẳng cấu của trường $K$; nhóm $N$ là đẳng cấu với nhóm được xác định trên tập hợp $K^* \times K$ bởi luật hợp thành $(\lambda, \mu)(\lambda', \mu') = (\lambda \lambda', \lambda' \mu + \mu')$.

19. Chứng minh đẳng thức đa thức trong 8 bất định

(Áp dụng công thức (32) của no. 5 cho một đại số quaternion thích hợp.)

20. Chứng minh rằng không tồn tại đẳng thức đa thức trong 6 bất định

trong đó $P, Q, R$ là ba đa thức với các hệ số trong $\mathbf{Z}$ đối với các bất định $X_i$ và $Y_i$. (Nhận xét rằng $15 = 3.5$ không thể được viết dưới dạng $p^2 + q^2 + r^2$, trong đó $p, q, r$ là các số nguyên.)

21. Cho $S$ là một nửa nhóm nhân với phần tử đơn vị $e$, thỏa mãn điều kiện (D) của no. 10 và hơn nữa thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) quan hệ $st = e$ kéo theo $s = t = e$: (2) với mọi $s \in S$, số $n$ các số hạng trong một dãy hữu hạn $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ gồm các phần tử phân biệt với $e$ và sao cho $t_1 t_2 \ldots t_n = s$ nhỏ hơn một số hữu hạn $\nu(s)$ chỉ phụ thuộc vào $s$.

Chứng minh rằng, để một phần tử $x = \sum_{s \in S} \alpha_s s$ của đại số toàn phần của $S$ trên một vành $A$ là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $\alpha_e$ khả nghịch trong $A$ (rút gọn về trường hợp $\alpha_e = 1$ và dùng đẳng thức

22. Nếu $K$ là một trường giao hoán, chứng minh rằng trong vành chuỗi lũy thừa hình thức $K[[X_1, X_2, \ldots, X_p]]$ chỉ có một iđêan cực đại duy nhất, bằng tập hợp các phần tử không khả nghịch. Mặt khác, chứng minh rằng trong vành đa thức $K[X_1, \ldots, X_p]$ với $p \geq 1$ luôn tồn tại nhiều iđêan cực đại phân biệt.

23. Cho K là một trường giao hoán; chứng minh rằng không tồn tại chuỗi lũy thừa hình thức $u(X, Y) \in K[[X, Y]]$ sao cho, với một số nguyên $m > 0$,

24. Cho K là một trường giao hoán và cho $k$ là một số nguyên sao cho $k \neq 0$ trong K. Chứng minh rằng với mọi chuỗi lũy thừa hình thức $u$ của $K[[X]]$ có số hạng hằng bằng 1, tồn tại một chuỗi lũy thừa hình thức $v \in K[[X]]$ sao cho $v^k = u$.

25. Cho A là một vành, giao hoán hoặc không, và cho $\sigma$ là một tự đồng cấu của A. Trên nhóm tích cộng tính $E = A^\mathbf{N}$, một luật hợp thành nội được xác định bằng cách viết $(\alpha_n)(\beta_n) = (\gamma_n)$, trong đó $\gamma_n = \sum_{p+q=n} \alpha_p \sigma^p(\beta_q)$ (với quy ước $\sigma^0(\xi) = \xi$).

(a) Chứng minh rằng luật này xác định, cùng với phép cộng trên E, một cấu trúc vành trên E, nhận phần tử đơn vị $e$ là dãy $(\alpha_n)$ trong đó $\alpha_0 = 1$ và $\alpha_n = 0$ với $n \geq 1$. Ánh xạ gắn với mỗi $\xi \in A$ phần tử $(\alpha_n) \in E$ sao cho $\alpha_0 = \xi, \alpha_n = 0$ với $n \geq 1$, là một đẳng cấu của A lên một vành con của E, với vành này nó được đồng nhất. Khi đó ta viết $\sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ thay cho $(\alpha_n)$ và $X^p \beta = \sigma^p(\beta) X^p$ với mọi $\beta \in A$; nếu $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n \neq 0$, số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $\alpha_n \neq 0$ được gọi là cấp của $u$ và được ký hiệu bởi $\omega(u)$.

(b) Nếu A là một vành không có ước của 0 và $\sigma$ là một đẳng cấu của A lên một vành con của A, chứng minh rằng E là một vành không có ước của 0 và rằng

với $u \neq 0$ và $v \neq 0$.

(c) Để $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $\alpha_0$ khả nghịch trong A.

(d) Giả sử A là một trường và $\sigma$ là một tự đẳng cấu của A. Chứng minh rằng E thừa nhận một trường các phân thức trái (I, § 9, Bài tập 15) và trong trường F này mọi phần tử $\neq 0$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $u X^{-h}$, trong đó $u$ là một phần tử của E có cấp 0.

*26. (a) Cho A và B là hai tập con được sắp tốt của $\mathbf{R}$ (những tập này tất nhiên là đếm được; xem Tôpô đại cương, IV, § 2, Bài tập 1). Chứng minh rằng $A + B$ là được sắp tốt và rằng, với mọi $c \in A + B$, chỉ tồn tại một số hữu hạn cặp có thứ tự $(a, b)$ sao cho $a \in A, b \in B$ và $a + b = c$ (để chứng minh rằng một tập con không rỗng của $A + B$ có phần tử nhỏ nhất, hãy xét cận dưới lớn nhất của nó trong $\mathbf{R}$).

(b) Cho K là một trường giao hoán. Trong không gian vectơ $K^\mathbf{R}$, xét không gian con vectơ E gồm các phần tử $(\alpha_x)$ sao cho tập hợp (phụ thuộc vào $(\alpha_x)$) các $x \in \mathbf{R}$ sao cho $\alpha_x \neq 0$ là được sắp tốt. Với hai phần tử bất kỳ $(\alpha_x)$, $(\beta_x)$ của E, ta viết $(\alpha_x)(\beta_x) = (\gamma_x)$, trong đó $\gamma_x = \sum_{y+z=x} \alpha_y \beta_z$ (một tổng có nghĩa nhờ (a)). Chứng minh rằng luật hợp thành này xác định, cùng với phép cộng, một cấu trúc trường trên E; các phần tử của E cũng được ký hiệu bởi $\sum_{t \in \mathbf{R}} \alpha_t X^t$ và được gọi là các chuỗi lũy thừa hình thức với số mũ thực được sắp tốt, với các hệ số trong K.