Exercice 3, § 2

a) Soit K un corps commutatif. Montrer que, pour que K soit le centre d’une algèbre de quaternions de type $(\alpha, \beta, \gamma)$ sur K, il faut et il suffit que l’on soit dans l’un des cas suivants: $1^\circ \beta \gamma \neq 0; 2^\circ \gamma = 0, \beta \neq 0$ et $\beta^2 + 4\alpha \neq 0; 3^\circ \beta = 0, \alpha \neq 0$ ou $\gamma \neq 0$ et $2 \neq 0$ dans K. b) Soit K un corps commutatif tel que $2 \neq 0$ dans K; montrer que l’algèbre de quaternions sur K de type $(1, \gamma)$ est isomorphe à l’algèbre des matrices $\mathbf{M}_2(K)$ (considérer la base de cette algèbre formée des éléments $\frac{1}{2}(1+i), \frac{1}{2}(1-i), \frac{1}{2\gamma}(j+k), \frac{1}{2}(j-k)$). c) Soit K un corps commutatif tel que $2 \neq 0$ dans K, et soit E l’algèbre de quaternions sur K de type $(\alpha, \gamma)$. On dit qu’un quaternion $z \in E$ est pur si $\bar{z} = -z$ (on encore $T(z) = 0$).

Montrer que si z est pur, il en est de même de tout quaternion tzt^{-1}, où t \in E est inversible. d) Si u, v sont deux quaternions quelconques, uv - vu est pur. En déduire que si u, v, w sont trois quaternions quelconques, on a

e) Montrer que s’il existe dans E un quaternion z \neq 0 tel que N(z) = 0, il existe aussi un quaternion pur z' \neq 0 tel que N(z') = 0. (Remarquer avec les notations de la formule (33) (III, p. 18) que, si \alpha n’est pas un carré dans K, l’existence de z \neq 0 dans E tel que N(z) = 0 équivaut à l’existence d’un élément y \in K + Ki tel que \gamma = N(y).)