Bài tập 5, § 2

Trên một trường giao hoán $K$ trong đó $2 = 0$, mọi đại số quaternion $E$ kiểu $(\alpha, 0, \gamma)$ đều giao hoán và bình phương của mọi $x \in E$ thuộc $K$; do đó đại số con $K(x)$ của $E$ sinh bởi một phần tử $x \in K$ là một đại số bậc hai kiểu $(\lambda, 0)$ trên $K$ và $E$ là một đại số bậc hai trên $K(x)$.

Chứng minh rằng tập hợp $C$ gồm các $x \in E$ mà bình phương của nó bằng bình phương của một phần tử của $K$ là một không gian con vectơ của $E$ có chiều bằng 1, 2 hoặc 4. Nếu $C$ có chiều 1 (trong trường hợp này $C = K$), thì $E$ là một trường. Nếu $C$ có chiều 2, tồn tại một đại số bậc hai $K(x)$ được chứa trong $E$ là một trường và $E$ có một cơ sở trên $K(x)$ gồm hai phần tử 1 và $u$ với $u^2 = 0$; tập hợp các $y \in E$ sao cho $y^2 = 0$ là một iđêan $a$ có chiều 2 trên $K$ và $E/a$ đẳng cấu với $K(x)$. Cuối cùng, nếu $C$ có chiều 4 (và do đó bằng $E$), tập hợp $a$ gồm các $y \in E$ sao cho $y^2 = 0$ là một iđêan có chiều 3 và $E/a$ đẳng cấu với $K$; tồn tại trong $E$ một cơ sở $(1, e_1, e_2, e_3)$ sao cho $e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = 0$, $e_1 e_2 = e_3$, $e_1 e_3 = e_2 e_3 = 0$; $Ke_3 = b$ là iđêan duy nhất có chiều 1 trong $E$, $b$ là linh hóa tử của $a$ và $a/b$ là tổng trực tiếp của hai iđêan của $E/b$, có chiều 1, triệt tiêu lẫn nhau.