Exercice 5, § 2

Sur un corps commutatif K dans lequel 2 = 0, toute algèbre de quaternions E de type (\alpha, 0, \gamma) est commutative et le carré de tout x \in E appartient à K; la sous-algèbre K(x) de E engendrée par un élément x \in K est donc une algèbre quadratique de type (\lambda, 0) sur K, et E est une algèbre quadratique sur K(x).

Montrer que l’ensemble C des x \in E dont le carré est égal au carré d’un élément de K, est un sous-espace vectoriel de E dont la dimension est égale à 1, 2 ou 4. Si C est de dimension 1 (auquel cas C = K), E est un corps. Si C est de dimension 2, il existe une algèbre quadratique K(x) contenue dans E qui est un corps, et E a une base sur K(x) formée de deux éléments 1 et u avec u^2 = 0; l’ensemble des y \in E tels que y^2 = 0 est un idéal a de dimension 2 sur K, et E/a est isomorphe à K(x). Enfin, si C est de dimension 4 (donc égal à E), l’ensemble a des y \in E tels que y^2 = 0 est un idéal de dimension 3, et E/a est isomorphe à K; il existe dans E une base (1, e_1, e_2, e_3) telle que e_1^2 = e_2^2 = e_3^2 = 0, e_1e_2 = e_3, e_1e_3 = e_2e_3 = 0; Ke_3 = b est le seul idéal de dimension 1 dans E, b est l’annulateur de a, et a/b est somme directe de deux idéaux de E/b, de dimension 1, qui s’annulent mutuellement.