Bài tập 6, § 2

Cho $K$ là một trường giao hoán trong đó $2 \neq 0$ và $E$ là một đại số quaternion trên $K$ kiểu $(0, 0, \gamma)$. (a) Nếu $\gamma$ không là một bình phương trong $K$, thì không tồn tại iđêan trái (tương ứng phải) nào trong $E$ có chiều 1 trên $K$; tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 2 trên $K$ và $E/a$ là một trường, một đại số bậc hai trên $K$. (b) Nếu $\gamma$ là một bình phương $\neq 0$ trong $K$, thì tồn tại trong $E$ một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$ với bảng phép nhân sau:

<table> <tr> <th></th> <th>e_1</th> <th>e_2</th> <th>e_3</th> <th>e_4</th> </tr> <tr> <th>e_1</th> <td>e_1</td> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_2</th> <td>0</td> <td>e_2</td> <td>0</td> <td>e_4</td> </tr> <tr> <th>e_3</th> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <th>e_4</th> <td>e_4</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> </table>

Tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 2, là tổng trực tiếp của hai iđêan hai phía $Ke_3$ và $Ke_4$ triệt tiêu lẫn nhau; các iđêan này là những iđêan trái hoặc phải duy nhất có chiều 1 trong $E$. Đại số thương $E/a$ đẳng cấu với tích của hai trường đẳng cấu với $K$.

(c) Nếu $\gamma = 0$, tập hợp $a$ gồm các $x \in E$ sao cho $x^2 = 0$ là một iđêan hai phía có chiều 3; $Kk = b$ là iđêan trái hoặc phải duy nhất có chiều 1 trong $E$; nó là một iđêan hai phía, là linh hóa tử trái và phải của $a$. Trong đại số thương $E/b$, $a/b$ là tổng trực tiếp của hai iđêan hai phía có chiều 1 triệt tiêu lẫn nhau; cuối cùng $E/a$ là một trường đẳng cấu với $K$.