Exercice 6, § 2

Soient K un corps commutatif dans lequel 2 \neq 0, E une algèbre de quaternions sur K du type (0, 0, \gamma). a) Si \gamma n’est pas un carré dans K, il n’existe pas dans E d’idéal à gauche (resp. à droite) de dimension 1 sur K; l’ensemble a des x \in E tels que x^2 = 0 est un idéal bilatère de dimension 2 sur K et E/a est un corps, algèbre quadratique sur K. b) Si \gamma est un carré \neq 0 dans K, il existe dans E une base (e_i)_{1 \leq i \leq 4} ayant la table de multiplication suivante:

<table> <tr> <th></th> <th>e_1</th> <th>e_2</th> <th>e_3</th> <th>e_4</th> </tr> <tr> <td>e_1</td> <td>e_1</td> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>e_2</td> <td>0</td> <td>e_2</td> <td>0</td> <td>e_4</td> </tr> <tr> <td>e_3</td> <td>0</td> <td>e_3</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> <tr> <td>e_4</td> <td>e_4</td> <td>0</td> <td>0</td> <td>0</td> </tr> </table>

L’ensemble a des x \in E tels que x^2 = 0 est un idéal bilatère de dimension 2, somme directe des deux idéaux bilatères Ke_3 et Ke_4 qui s’annulent mutuellement; ces derniers sont les seuls idéaux (à gauche ou à droite) de dimension 1 dans E. L’algèbre quotient E/a est isomorphe au produit de deux corps isomorphes à K. c) Si \gamma = 0, l’ensemble a des x \in E tels que x^2 = 0 est un idéal bilatère de dimension 3; Kk = b est le seul idéal (à gauche ou à droite) de dimension 1 dans E; c’est un idéal bilatère, annulateur de a à gauche et à droite. Dans l’algèbre quotient E/b, a/b est somme directe de deux idéaux bilatères de dimension 1, qui s’annulent mutuellement; enfin E/a est un corps isomorphe à K.