Bài tập 8, § 2

Nhóm quaternion $Q$ (I, § 6, Bài tập 4) đẳng cấu với nhóm nhân của tám quaternion $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ trong đại số quaternion kiểu $(-1, -1)$ trên một trường trong đó $2 \neq 0$. Hãy chứng minh rằng đại số của nhóm $Q$ trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ đẳng cấu với tích của bốn trường đẳng cấu với $K$ và đại số quaternion kiểu $(+1, -1)$ trên $K$ (nếu $c$ là phần tử của $Q$ tương ứng với quaternion $-1$, các phần tử của $Q$ có thể viết là $e, i, j, k, c, ci, cj, ck$; hãy xét cơ sở của $E$ gồm các phần tử $\frac{1}{2}(e + c), \frac{1}{2}(e - c), \frac{1}{2}(e + c)i, \frac{1}{2}(e - c)i, \frac{1}{2}(e + c)j, \frac{1}{2}(e - c)j, \frac{1}{2}(e + c)k, \frac{1}{2}(e - c)k$).