Exercice 8, § 2

Le groupe quaternionien $\mathscr{Q}$ (I, p. 134, exerc. 4) est isomorphe au groupe multiplicatif des huit quaternions $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ dans l’algèbre de quaternions de type $(-1, -1)$ sur un corps dans lequel $2 \neq 0$. Montrer que l’algèbre du groupe $\mathscr{Q}$ sur un corps K dans lequel $2 \neq 0$ est isomorphe au produit de quatre corps isomorphes à K et de l’algèbre des quaternions de type $(+1, -1)$ sur K (si c est l’élément de $\mathscr{Q}$ qui correspond au quaternion $-1$, les éléments de $\mathscr{Q}$ peuvent s’écrire $e, i, j, k, c, ci, cj, ck$; considérer la base de E formée des éléments $\frac{1}{2}(e + c), \frac{1}{2}(e - c), \frac{1}{2}(e + c)i, \frac{1}{2}(e - c)i, \frac{1}{2}(e + c)j, \frac{1}{2}(e - c)j, \frac{1}{2}(e + c)k, \frac{1}{2}(e - c)k$).