Bài tập 9, § 2

(a) Chứng minh rằng đại số $E$ của nhóm nhị diện $D_4$ cấp 8 (I, § 6, Bài tập 4) trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ là đẳng cấu với tích của bốn trường đẳng cấu với $K$ và đại số ma trận cấp 2 trên $K$. (Nếu $a, b$ là hai phần tử sinh của $D_4$ được đưa vào trong I, § 6, Bài tập 4, các phần tử của $D_4$ có thể viết dưới dạng $a^i b^j$ với $0 \leq i \leq 3, 0 \leq j \leq 1$; xét cơ sở của $E$ gồm bốn phần tử $\frac{1}{2}(e + a^2), \frac{1}{2}(e - a^2), \frac{1}{2}(a + a^3), \frac{1}{2}(a - a^3)$ và bốn phần tử này nhân bên phải với $b$; sử dụng Bài tập 4.) Suy ra rằng, nếu $-1$ là một bình phương trong $K$, thì các đại số trên $K$ của các nhóm không đẳng cấu $Q$ và $D_4$ là đẳng cấu.

(b) Chứng minh tương tự rằng đại số $F$ của nhóm nhị diện $D_3$ cấp 6 trên một trường $K$ trong đó $2 \neq 0$ và $3 \neq 0$ là đẳng cấu với tích của hai trường đẳng cấu với $K$ và đại số ma trận cấp 2 trên $K$ (xét ở đây cơ sở của $F$ gồm các phần tử $e + a + a^2, a + a^2 - 2e, a - a^2$ và ba phần tử này nhân bên phải với $b$).