Exercice 9, § 2

a) Montrer que l’algèbre E du groupe diédral $\mathbf{D}_4$ d’ordre 8 (I, p. 134, exerc. 4) sur un corps K dans lequel $2 \neq 0$, est isomorphe au produit de quatre corps isomorphes à K et de l’algèbre des matrices d’ordre 2 sur K. (Si $a, b$ sont les deux générateurs de $\mathbf{D}_4$ introduits dans I, p. 134, exerc. 4, les éléments de $\mathbf{D}_4$ s’écrivent $a^i b^j$ avec $0 \leq i \leq 3, 0 \leq j \leq 1$; considérer la base de E formée des quatre éléments $\frac{1}{2}(e + a^2), \frac{1}{2}(e - a^2), \frac{1}{2}(a + a^3), \frac{1}{2}(a - a^3)$, et de ces quatre éléments multipliés à droite par $b$; utiliser l’exerc. 4 de III, p. 179). En déduire que, si $-1$ est un carré dans K, les algèbres sur K des groupes non isomorphes $\mathscr{Q}$ et $\mathbf{D}_4$ sont isomorphes. b) Montrer de même que l’algèbre F du groupe diédral $\mathbf{D}_3$ d’ordre 6 sur un corps K dans lequel $2 \neq 0$ et $3 \neq 0$, est isomorphe au produit de deux corps isomorphes à K et de l’algèbre des matrices d’ordre 2 sur K (considérer ici la base de F formée des éléments $e + a + a^2, a + a^2 - 2e, a - a^2$, et de ces trois éléments multipliés à droite par $b$).