Bài tập 1, § 4

Cho A là một vành giao hoán, E, F là hai A-đại số, M là một E-môđun trái, N là một F-môđun trái và G là đại số $G = E \otimes_A F$. Với mọi cặp có thứ tự các tự đồng cấu $u \in \mathrm{End}_E(M)$, $v \in \mathrm{End}_F(N)$, tồn tại một và chỉ một G-tự đồng cấu $w$ của $M \otimes_A N$ sao cho $w(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)$ với $x \in M, y \in N$, và ta có thể viết $w = \phi(u \otimes v)$, trong đó $\phi$ là một ánh xạ A-tuyến tính (gọi là chính tắc) từ $\mathrm{End}_E(M) \otimes_A \mathrm{End}_F(N)$ vào $\mathrm{End}_G(M \otimes_A N)$. Trong phần sau, giả sử rằng A là một trường.

(a) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\phi$ là đơn ánh (xét một phần tử $z = \sum_i u_i \otimes v_i$, trong đó các $v_i \in \mathrm{End}_F(N)$ độc lập tuyến tính trên A, và viết $(\phi(z))(x_\alpha \otimes y) = 0$ với mọi phần tử $x_\alpha$ của một cơ sở của M trên A và mọi $y \in N$).

(b) Giả sử rằng M là một E-môđun tự do sinh hữu hạn. Chứng minh rằng ánh xạ $\phi$ là song ánh trong từng trường hợp sau đây: (1) E có hạng hữu hạn trên trường A; (2) N là một F-môđun sinh hữu hạn.

(c) Giả sử rằng M là một E-môđun tự do và rằng tồn tại một $y \in N$ và một dãy vô hạn $(v_n)$ các tự đồng cấu của F-môđun N sao cho không gian con vectơ (trên A) của N sinh bởi các $v_n(y)$ có hạng vô hạn trên A. Chứng minh rằng, nếu ánh xạ $\phi$ là song ánh, thì mọi cơ sở của M trên E tất yếu đều là hữu hạn.

(d) Vẫn giả sử rằng M là một E-môđun tự do. Chứng minh rằng để G-môđun $M \otimes_A N$ là trung thành thì điều kiện cần và đủ là F-môđun N trung thành (xét một cơ sở của E trên A).