Exercice 1, § 4

Soient A un anneau commutatif, E, F deux A-algèbres, M un E-module à gauche, N un F-module à gauche, G l’algèbre $G = E \otimes_A F$. Pour tout couple d’endomorphismes $u \in \mathrm{End}_E(M)$, $v \in \mathrm{End}_F(N)$, il existe un G-endomorphisme $w$ et un seul de $M \otimes_A N$ tel que $w(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)$ pour $x \in M$, $y \in N$, et on peut écrire $w = \varphi(u \otimes v)$, où $\varphi$ est une application A-linéaire (dite canonique) de $\mathrm{End}_E(M) \otimes_A \mathrm{End}_F(N)$ dans $\mathrm{End}_G(M \otimes_A N)$. On suppose dans ce qui suit que A est un corps. a) Montrer que l’application canonique $\varphi$ est injective (considérer un élément $z = \sum_i u_i \otimes v_i$, où les $v_i \in \mathrm{End}_F(N)$ sont linéairement indépendants sur A, et écrire que $(\varphi(z))(x_\alpha \otimes y) = 0$ pour tout élément $x_\alpha$ d’une base de M sur A et tout $y \in N$. b) On suppose que M est un E-module libre de type fini. Montrer que l’application $\varphi$ est bijective dans chacun des cas suivants: 1° E est de rang fini sur le corps A; 2° N est un F-module de type fini. c) On suppose que M est un E-module libre, et qu’il existe un $y \in N$ et une suite infinie $(v_n)$ d’endomorphismes du F-module N tels que le sous-espace vectoriel (sur A) de N engendré par les $v_n(y)$ soit de rang infini sur A. Montrer que si l’application $\varphi$ est bijective, toute base de M sur E est nécessairement finie. d) On suppose toujours que M est un E-module libre. Montrer que, pour que le G-module $M \otimes_A N$ soit fidèle, il faut et il suffit que le F-module N soit fidèle (considérer un base de E sur A).