Bài tập 2, § 4

Cho K là một trường giao hoán, E, F là hai trường mà tâm của chúng chứa

K, M là một không gian vectơ trái trên E và N là một không gian vectơ trái trên F; cho G = E ⊗_K F.

(a) Cho x ≠ 0 là một phần tử của M và y ≠ 0 là một phần tử của N. Chứng minh rằng x ⊗ y là tự do trong G-môđun M ⊗_K N (sử dụng Bài tập 1(d) và tính bắc cầu của End_E(M) (tương ứng End_F(N)) trong tập hợp các phần tử của M (tương ứng N) phân biệt với 0).

(b) Chứng minh rằng M ⊗_K N là một G-môđun tự do. (Nếu (m_α) là một cơ sở của M trên E và (n_β) là một cơ sở của N trên F, chứng minh rằng tổng của các G-môđun G(m_α ⊗ n_β) là trực tiếp, sử dụng một phương pháp tương tự như phương pháp của (a).)