Exercice 2, § 4

Soient K un corps commutatif, E, F deux corps dont le centre contient K, M un espace vectoriel à gauche sur E, N un espace vectoriel à gauche sur F; on pose $G = E \otimes_K F$. a) Soient $x \neq 0$ un élément de M, $y \neq 0$ un élément de N. Montrer que $x \otimes y$ est libre dans le G-module $M \otimes_K N$ (utiliser l’exerc. 1 d) et la transitivité de $\mathrm{End}_E(M)$ (resp. $\mathrm{End}_F(N)$) dans l’ensemble des éléments de M (resp. N) distincts de 0). b) Montrer que $M \otimes_K N$ est un G-module libre. (Si $(m_\alpha)$ est une base de M sur E, $(n_\beta)$ une base de N sur F, montrer que la somme des G-modules $G(m_\alpha \otimes n_\beta)$ est directe, en utilisant une méthode analogue à celle de a).