Bài tập 3, § 5

Cho M là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. Với mọi tự đồng cấu u của M, ký hiệu ũ là tenxơ θ_M^{-1}(u) ∈ M* ⊗_A M tương ứng với nó.

(a) Với mọi phần tử x ∈ M, hãy chứng minh rằng u(x) = c_2^1(x ⊗ ũ), trong đó x ⊗ ũ thuộc M ⊗ M* ⊗ M = T_{\{2\}}^{(1, 3)}(M).

(b) Cho u, v là hai tự đồng cấu của M và w = u ◦ v; hãy chứng minh rằng ũw = c_3^2(ũ ⊗ ũ), trong đó ũ ⊗ ũ thuộc T_{\{1, 3\}}^{(2, 4)}(M).

(c) Với mọi tự đẳng cấu s của M và mọi tenxơ z ∈ T_J^I(M), một tenxơ s . z ∈ T_J^I(M) được xác định bởi điều kiện rằng nếu $z = \bigotimes_{k \in I \cup J} z_k$ trong đó z_k ∈ M với k ∈ I và z_k ∈ M* với k ∈ J, thì s . z = $\bigotimes_{k \in I \cup J} z'_k$ với z'_k = s(z_k) nếu k ∈ I, z'_k = t_s^{-1}(z_k) \text{ nếu } k \in J. Hãy chứng minh rằng nhóm $\mathbf{GL}(M)$ tác động theo luật $(s, z) \mapsto s . z$ trên A-môđun $T_J^1(M)$, các ánh xạ $z \mapsto s . z$ là các tự đẳng cấu của A-môđun này. Hơn nữa, với mọi cặp có thứ tự các chỉ số $i \in I$, $j \in J$,

Nếu M xạ ảnh và sinh hữu hạn, hãy chứng minh, theo ký hiệu của Bài tập 2, rằng $s . \tilde{u} = (s \circ u \circ s^{-1})^\sim$.