Exercice 3, § 5

Soit M un A-module projectif de type fini. Pour tout endomorphisme $u$ de M, notons $\tilde{u}$ le tenseur $\theta_M^{-1}(u) \in M^* \otimes_A M$ qui lui correspond. a) Pour tout élément $x \in M$, montrer que l’on a $u(x) = c_2^1(x \otimes \tilde{u})$, où $x \otimes \tilde{u}$ appartient à $M \otimes M^* \otimes M = T_{\{2\}}^{1,3}(M)$.

EXERCICES

b) Soient $u, v$ deux endomorphismes de $M$ et $w = u \circ v$; montrer que $\tilde{w} = c_3^2(\tilde{v} \otimes \tilde{u})$, où $\tilde{v} \otimes \tilde{u}$ appartient à $T_{\{1,3\}}^{2,4}(M)$. 3) Pour tout automorphisme $s$ de $M$ et tout tenseur $z \in T_J^I(M)$, on définit un tenseur $s.z \in T_J^I(M)$ par la condition que si $z = \bigotimes_{k \in I \cup J} z_k$ avec $z_k \in M$ pour $k \in I$ et $z_k \in M^*$ pour $k \in J$, on a $s.z = \bigotimes_{k \in I \cup J} z'_k$, avec $z'_k = s(z_k)$ si $k \in I$, $z'_k = t_s^{-1}(z_k)$ si $k \in J$. Montrer que le groupe $\mathrm{GL}(M)$ opère par la loi $(s, z) \mapsto s.z$ dans le A-module $T_J^I(M)$, les applications $z \mapsto s.z$ étant des automorphismes de cet A-module. En outre, pour tout couple d’indices $i \in I, j \in J$, on a

Si $M$ est projectif de type fini, montrer, avec les notations de l’exerc. 2, que $s.\tilde{u} = (s \circ u \circ s^{-1})^\sim$.