Bài tập 6, § 5

Cho K là một trường giao hoán và E, F là hai đại số trên K mỗi đại số có một phần tử đơn vị được đồng nhất với phần tử đơn vị 1 của K. Xét đại số trên K $T(E \oplus F)$, trong đó $E \oplus F$ được xem như một không gian vectơ trên K; E (tương ứng F) được đồng nhất với một không gian con vectơ của $T(E \oplus F)$ qua đơn ánh chính tắc. Gọi $J$ là iđêan hai phía của $T(E \oplus F)$ sinh bởi các phần tử $x_1 \otimes x_2 - (x_1x_2)$ và $y_1 \otimes y_2 - (y_1y_2)$, trong đó $x_i \in E$, $y_i \in F$, $i = 1, 2$; gọi $E * F$ là đại số thương $T(E \oplus F)/J$; nó được gọi là tích tự do của các đại số trên K E và F; gọi $\phi$ là đồng cấu chính tắc từ $T(E \oplus F)$ lên $E * F$ và $\alpha$ và $\beta$ là các hạn chế của $\phi$ lên E và F; $\alpha$ và $\beta$ là các đồng cấu đại số trên K.

(a) Chứng minh rằng với mọi cặp có thứ tự các đồng cấu trên K $u : E \to G,$ $v : F \to G$ vào một đại số trên K G, tồn tại một và chỉ một đồng cấu trên K $w : E * F \to G$ sao cho $u = w \circ \alpha$ và $v = w \circ \beta$ (điều này biện minh cho thuật ngữ).

(b) Cho $R_n$ là không gian con vectơ của $T(E \oplus F)$ là tổng của các $T^k(E \oplus F)$ với $0 \leq k \leq n$ và viết $J_n = J \cap R_n$. Chứng minh rằng, nếu ta xét một cơ sở của E gồm 1 và một họ $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ và một cơ sở của F gồm 1 và một họ $(f_\mu)_{\mu \in M}$, thì một không gian con phụ của $J_n + R_{n-1}$ được thu được trong $R_n$ bằng cách xét không gian con của $R_n$ có cơ sở là các phần tử dạng $z_1 \otimes z_2 \otimes \cdots \otimes z_n$ trong đó, hoặc $z_{2j+1}$ bằng một trong các $e_\lambda$ với $2j + 1 \leq n$ và $z_{2j}$ bằng một trong các $f_\mu$ với $2j \leq n$, hoặc $z_{2j+1}$ bằng một trong các $f_\mu$ với $2j + 1 \leq n$ và $z_{2j}$ bằng một trong các $e_\lambda$ với $2j \leq n$ (lập luận bằng quy nạp theo n).

(c) Cho $P_n = \phi(R_n) \subset E * F$; khi đó $P_n \subset P_{n+1}$, $P_0 = K$, $P_h P_k \subset P_{h+k}$ và $E * F$ là hợp của các $P_n$. Chứng minh rằng có một đẳng cấu không gian vectơ chính tắc, với $n \geq 1$,

trong đó ta viết $G_k = E/K$ với k lẻ, $G_k = F/K$ với k chẵn. Đặc biệt các đồng cấu $\alpha$ và $\beta$ là đơn ánh, điều này cho phép ta đồng nhất E và F với các đại số con trên K của E \* F. $P'_n$ (tương ứng $P''_n$) được dùng để chỉ các ảnh ngược trong P của $G_1 \otimes G_2 \otimes \cdots \otimes G_n$ (tương ứng $G_2 \otimes G_3 \otimes \cdots \otimes G_{n+1}$); chiều cao của một phần tử $z \in E * F$, ký hiệu bởi $h(z)$, là số nguyên nhỏ nhất sao cho $z \in P_n$; nếu $h(z) = n$ và $z \in P'_n$ (tương ứng $z \in P''_n$), thì z được gọi là thuần lẻ (tương ứng thuần chẵn). Khi đó $P_n = P'_n + P''_n$ và $P'_n \cap P''_n = P_{n-1}$ với $n \geq 1$.

(d) Chứng minh rằng, nếu u, v là hai phần tử của E \* F sao cho $h(u) = r$, $h(v) = s$, thì $h(uv) \leq h(u) + h(v)$ và $h(uv) = h(u) + h(v)$ trừ khi u và v là thuần và, hoặc r là chẵn và u, v không cùng tính chẵn lẻ, hoặc r là lẻ và u, v cùng tính chẵn lẻ. (Ví dụ nếu r là chẵn, $u \in P'_r$, $v \in P'_s$, chứng minh rằng $uv \in P_{r+s-1}$ chỉ có thể xảy ra nếu $u \in P_{r-1}$ hoặc $v \in P_{s-1}$.)

(e) Giả sử E không có ước của không và, theo ký hiệu của (d), giả sử r là chẵn, u thuần chẵn và v thuần lẻ. Chứng minh rằng $h(uv) = r + s - 1$, trừ khi tồn tại hai phần tử khả nghịch x, y của E sao cho $uy \in P_{r-1}$ và $xb \in P_{s-1}$. (Gọi $(a_i)$ (tương ứng $(b_j)$) là cơ sở của không gian con phụ của $J_r + R_{r-1}$ trong $R_r$ (tương ứng của $J_s + R_{s-1}$ trong $R_s$) được xét trong (b); viết $u = \sum_i \phi(a_i)x_i$ và $v = \sum_j y_j\phi(b_j)$, trong đó $x_i$ và $y_j$ thuộc E, và chứng minh rằng, nếu $uv \in P_{r+s-2}$, thì nhất thiết $x_iy_j \in K$.) Xử lý tương tự các trường hợp khác trong đó $h(uv) < h(u) + h(v)$ khi E và F được giả sử không có ước của không.

(f) Suy ra từ (d) và (e) rằng, khi E và F không có ước của không, thì E \* F cũng không có.

(g) Tổng quát hóa các định nghĩa và kết quả trên cho một số hữu hạn tùy ý các đại số trên K có đơn vị.