Exercice 6, § 5

Soient K un corps commutatif, E, F deux K-algèbres ayant chacune un élément unité qu’on identifie à l’élément unité 1 de K. On considère la K-Algèbre $\mathbf{T}(E \oplus F)$, où $E \oplus F$ est considéré comme espace vectoriel sur K; on identifie E (resp. F) à un sous-espace vectoriel de $\mathbf{T}(E \oplus F)$ par l’injection canonique. Soit $\mathfrak{J}$ l’idéal bilatère de $\mathbf{T}(E \oplus F)$ engendré par les éléments $x_1 \otimes x_2 - (x_1x_2)$ et $y_1 \otimes y_2 - (y_1y_2)$, où $x_i \in E, y_i \in F, i = 1, 2$; on note $E*F$ l’algèbre quotient $\mathbf{T}(E \oplus F)/\mathfrak{J}$ et on dit que c’est le produit libre des K-algèbres E et F; on note $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $\mathbf{T}(E \oplus F)$ sur $E*F$, par $\alpha$ et $\beta$ les restrictions de $\varphi$ à E et F; $\alpha$ et $\beta$ sont des homomorphismes de K-algèbres. a) Montrer que pour tout couple de K-homomorphismes $u : E \to G, v : F \to G$ dans une K-algèbre G, il existe un K-homomorphisme $w : E*F \to G$ et un seul tel que $u = w \circ \alpha, v = w \circ \beta$ (ce qui justifie la terminologie). b) Soit $R_n$ le sous-espace vectoriel de $\mathbf{T}(E \oplus F)$ somme des $T^k(E \oplus F)$ pour $0 \leq k \leq n$, et posons $\mathfrak{J}_n = \mathfrak{J} \cap R_n$. Montrer que si on considère une base de E formée de 1 et d’une famille $(e_\lambda)_{\lambda \in L}$ et une base de F formée de 1 et d’une famille $(f_\mu)_{\mu \in M}$, alors on obtient dans $R_n$ un supplémentaire de $\mathfrak{J}_n + R_{n-1}$ en considérant le sous-espace de $R_n$ ayant pour base les éléments de la forme $z_1 \otimes z_2 \otimes \cdots \otimes z_n$ où l’on a, ou bien $z_{2j+1}$ égal à un des $e_\lambda$ pour $2j+1 \leq n$ et $z_{2j}$ égal à un des $f_\mu$ pour $2j \leq n$, ou bien $z_{2j+1}$ égal à un des $f_\mu$ pour $2j+1 \leq n$ et $z_{2j}$ égal à un des $e_\lambda$ pour $2j \leq n$ (raisonner par récurrence sur $n$).

c) Soit $P_n = \varphi(R_n) \subset E*F$; on a $P_n \subset P_{n+1}$, $P_0 = K$, $P_h P_k \subset P_{h+k}$ et $E*F$ est réunion des $P_n$. Montrer que l’on a un isomorphisme canonique d’espaces vectoriels, pour $n \geqslant 1$,

où on pose $G_k = E/K$ pour $k$ impair, $G_k = F/K$ pour $k$ pair. En particulier les homomorphismes $\alpha$ et $\beta$ sont injectifs, ce qui permet d’identifier $E$ et $F$ à des sous-K-algèbres de $E*F$. On note $P'_n$ (resp. $P''_n$) l’image réciproque dans $P_n$ de $G_1 \otimes G_2 \otimes \cdots \otimes G_n$ (resp. de $G_2 \otimes G_3 \otimes \cdots \otimes G_{n+1}$); on appelle hauteur d’un élément $z \in E*F$ et on note $h(z)$ le plus petit entier tel que $z \in P_n$; si $h(z) = n$ et si $z \in P'_n$ (resp. $z \in P''_n$), on dit que $z$ est pur impair (resp. pur pair). On a $P_n = P'_n + P''_n$ et $P'_n \cap P''_n = P_{n-1}$ pour $n \geqslant 1$. d) Montrer que si $u, v$ sont deux éléments de $E*F$ tels que $h(u) = r, h(v) = s$, on a $h(uv) \leq h(u) + h(v)$ et que l’on a $h(uv) = h(u) + h(v)$ sauf si $u$ et $v$ sont purs, et ou bien $r$ est pair et $u, v$ ne sont pas de même parité, ou bien $r$ est impair et $u, v$ sont de même parité. (Si par exemple $r$ est pair, $u \in P_r, v \in P_s$, montrer qu’on ne peut avoir $uv \in P_{r+s-1}$ que si $u \in P_{r-1}$ ou $v \in P_{s-1}$.) e) Supposons que $E$ soit sans diviseur de zéro, et avec les notations de $d$), supposons que $r$ soit pair, $u$ pur pair, $v$ pur impair. Montrer que l’on a $h(uv) = r + s - 1$, sauf s’il existe deux éléments inversibles $x, y$ de $E$ tels que $uy \in P_{r-1}$ et $xb \in P_{s-1}$. (Soit $(a_i)$ (resp. $(b_j)$) la base du supplémentaire de $\mathfrak{J}_r + R_{r-1}$ dans $R_r$ (resp. du supplémentaire de $\mathfrak{J}_s + R_s$ dans $R_s$) considéré dans $b$); écrire $u = \sum_i \varphi(a_i)x_i$ et $v = \sum_j y_j \varphi(b_j)$, où $x_i$ et $y_j$ sont dans $E$, et montrer que si $uv \in P_{r+s-2}$, on a nécessairement $x_i y_j \in K$.) Traiter de même les autres cas où $h(uv) < h(u) + h(v)$ lorsqu’on suppose que $E$ et $F$ sont sans diviseur de zéro. f) Déduire de $d$ et $e$ que lorsque $E$ et $F$ sont sans diviseur de zéro, il en est de même de $E*F$. g) Généraliser les définitions et résultats précédents à un nombre fini quelconque de $K$-algèbres unifères.