Bài tập 7, § 5

Đại số, III

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho E là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn n trên một trường K. Với mọi số nguyên r $\geqslant 1$ , nhóm đối xứng $S_r$ tác động tuyến tính trên tích tenxơ $E^{\otimes r}$ theo tác động $(\sigma, z) \mapsto \sigma . z$ sao cho

\sigma . (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_r) = x_{\sigma^{-1}(1)} \otimes x_{\sigma^{-1}(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma^{-1}(r)}

đối với mọi dãy gồm r vectơ $(x_i)_{1 \leq i \leq r}$ của E. Đặt $u_\sigma(z) = \sigma . z$ . Hãy chứng minh rằng đối với mọi dãy $(v_i)_{1 \leq i \leq r}$ gồm r nội tự đồng cấu của E,

(*)

\operatorname{Tr}(u_\sigma \circ (v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_r)) = \operatorname{Tr}(w_1) \operatorname{Tr}(w_2) \ldots \operatorname{Tr}(w_k)

trong đó các nội tự đồng cấu $w_j$ của E được xác định như sau: $\sigma^{-1}$ được phân tích thành các chu trình, $\sigma^{-1} = \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_k$ và, nếu $\lambda_j = (i_1 \ i_2 \ldots i_n)$ , ta viết

w_j = v_{i_1} \circ v_{i_2} \circ \cdots \circ v_{i_n}.

(Hãy rút gọn về việc tính vế trái của (*) khi mỗi $v_i$ có dạng $x \mapsto \langle x, a_h^* \rangle a_k$ , trong đó $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một cơ sở của E và $(a_j^*)_{1 \leq j \leq n}$ là cơ sở đối ngẫu.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.