Exercice 7, § 5

Algèbre, III, p. 186

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$ . Pour tout entier $r \geqslant 1$ , le groupe symétrique $S_r$ opère linéairement sur le produit tensoriel $E^{\otimes r}$ par l’action $(\sigma, z) \mapsto \sigma . z$ telle que

\sigma . (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_r) = x_{\sigma^{-1}(1)} \otimes x_{\sigma^{-1}(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma^{-1}(r)}

pour toute suite de

r

vecteurs

(x_i)_{1 \leq i \leq r}

E

. On pose

u_\sigma(z) = \sigma . z

. Montrer que pour toute suite

(v_i)_{1 \leq i \leq r}

r

endomorphismes de

E

, on a ()
$\operatorname{Tr}(u_\sigma \circ (v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_r)) = \operatorname{Tr}(w_1) \operatorname{Tr}(w_2) \cdots \operatorname{Tr}(w_k)$
où les endomorphismes $w_j$ de $E$ sont définis de la façon suivante: on décompose $\sigma^{-1}$ en cycles, $\sigma^{-1} = \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_k$ , et si $\lambda_j = (i_1 \ i_2 \ldots i_n)$ , on pose $w_j = v_{i_1} \circ v_{i_2} \cdots \circ v_{i_n}$ . (Se ramener à calculer le premier membre de () lorsque chaque

v_i

est de la forme

x \mapsto \langle x, a^*_n \rangle a_k

, où

(a_j)_{1 \leq j \leq n}

est une base de

E

(a^*_j)_{1 \leq j \leq n}

la base duale.)

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.