Bài tập 9, § 5

Cho A là một vành giao hoán, F là đại số kết hợp tự do trên A của tập hợp các số nguyên $I = \{1, n\}$, trong đó $n \geq 2$, và $X_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các bất định tương ứng, sao cho một cơ sở chính tắc của F trên A gồm các tích $X_{i_1} X_{i_2} \ldots X_{i_r}$, trong đó $(i_1, \ldots, i_r)$ là một dãy hữu hạn tùy ý các phần tử của $I$.

(a) Gọi $C_2$ là tập hợp các giao hoán tử $[X_i, X_j] = X_i X_j - X_j X_i$ với $1 \leq i < j \leq n$. Giả sử $C_{m-1}$ đã được xác định, $C_m$ là tập hợp các phần tử $[X_i, P] = X_i P - P X_i$, trong đó $1 \leq i \leq n$ và P chạy qua $C_{m-1}$. Gọi U là đại số con phân bậc của F sinh bởi 1 và hợp của các $C_m$ với $m \geq 2$. Chứng minh rằng, với $1 \leq i \leq n$, $[X_i, P] \in U$ với mọi $P \in U$ (giới hạn vào trường hợp P là một tích của các phần tử của $\bigcup_m C_m$ và lập luận bằng quy nạp theo số thừa số).

(b) Từ đây giả sử A là một trường. Với mỗi số nguyên $m \geq 0$, gọi $U_m$ là không gian A-vectơ của các phần tử thuần nhất bậc m trong U (sao cho $U_0 = A, U_1 = \{0\}$); chọn một cơ sở $R_{m,1}, \ldots, R_{m,d_m}$ trong mỗi $U_m$, gồm các tích của các phần tử của $\bigcup_{k \leq m} C_k$. Với mỗi cặp có thứ tự các số nguyên $(m, k)$ sao cho $m \geq 2, 1 \leq k \leq d_m$, gọi $E_{m, k}$ là không gian con A-vectơ của U sinh bởi các $R_{p, j}$ sao cho $p > m$ hoặc $p = m$ và $j \geq k$; chứng minh rằng $E_{m, k}$ là một iđêan hai phía của U và rằng, nếu $L_{m, k}$ là iđêan trái của F sinh bởi $E_{m, k}$, thì $L_{m, k}$ là một iđêan hai phía của F.

(c) Với mỗi đa chỉ số $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbf{N}^n$, ta viết

Chứng minh rằng các phần tử $X^\alpha R_{m, k}$ ($m > 0, 1 \leq k \leq d_m$) tạo thành một cơ sở của F trên K. (Để chứng minh rằng các phần tử này tạo thành một hệ sinh của không gian vectơ F, chứng minh rằng mọi phần tử $X_{i_1} \ldots X_{i_r}$ là một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng quy nạp theo bậc r. Để thấy rằng các $X^\alpha R_{m, k}$ độc lập tuyến tính, lập luận bằng reductio ad absurdum bằng cách xét bậc lớn nhất đối với một trong các $X_i$ của các đơn thức $X^\alpha$ xuất hiện trong một quan hệ tuyến tính giữa các $X^\alpha R_{m, k}$ và tiến hành quy nạp theo bậc lớn nhất này; để làm điều đó, rút gọn về trường hợp K là vô hạn (xét nếu cần $F \otimes_K K'$ đối với một trường mở rộng $K'$ của K) và nhận xét rằng khi thay $X_i + \lambda$ vào một $R_{m, k}$ thay cho $X_i$, với một $\lambda \in K'$, thì phần tử $R_{m, k}$ không thay đổi).

(d) Chứng minh rằng iđêan hai phía $\mathfrak{J}(F)$ của F sinh bởi các giao hoán tử $[u, v] = uv - vu$ của các phần tử của F là tổng của các $U_m$ với $m \geq 2$; $F/\mathfrak{J}(F)$ là đẳng cấu với $A[X_1, \ldots, X_n]$ và do đó là một miền nguyên.

(e) Chứng minh rằng đại số U không phải là một đại số kết hợp tự do bằng cách chứng minh rằng thương $U/\mathfrak{J}(U)$, trong đó $\mathfrak{J}(U)$ được sinh bởi các giao hoán tử của các phần tử của U, có các phần tử lũy linh $\neq 0$. (Xét ảnh $z'$ trong $U/\mathfrak{J}(U)$ của phần tử $z = [X_i, X_j]$ của U; ${z'}^2 \neq 0$ nhưng ${z'}^4 = 0$.)