Exercice 9, § 5

Soient $A$ un anneau commutatif, $F$ l’algèbre associative libre sur $A$ de l’ensemble d’entiers $I = \{1, n\}$ où $n \geq 2$, $X_i$ ($1 \leq i \leq n$) les indéterminées correspondantes, de sorte qu’une base canonique de F sur A est formée des produits $X_{i_1} X_{i_2} \ldots X_{i_r}$, où $(i_1, \ldots, i_r)$ est une suite finie arbitraire d’éléments de I.

a) On désigne par $C_2$ l’ensemble des commutateurs $[X_i, X_j] = X_i X_j - X_j X_i$ pour $1 \leq i \leq j \leq n$. Supposant défini $C_{m-1}$, on désigne par $C_m$ l’ensemble des éléments $[X_i, P] = X_i P - P X_i$, où $1 \leq i \leq n$ et P parcourt $C_{m-1}$. Soit U la sous-algèbre graduée de F engendrée par 1 et la réunion des $C_m$ pour $m \geq 2$. Montrer que pour $1 \leq i \leq n$, on a $[X_i, P] \in U$ pour tout $P \in U$ (se borner au cas où P est un produit d’éléments de $\bigcup_m C_m$, et raisonner par récurrence sur le nombre de facteurs).

b) On suppose désormais que A est un corps. Pour tout entier $m \geq 0$, soit $U_m$ le A-espace vectoriel des éléments homogènes de degré $m$ dans U (de sorte que $U_0 = A, U_1 = \{0\}$); on choisit une base $R_{m,1}, \ldots, R_{m,d_m}$ dans chaque $U_m$, formée de produits d’éléments de $\bigcup_{k \leq m} C_k$. Pour tout couple d’entiers $(m, k)$ tel que $m \geq 2, 1 \leq k \leq d_m$, soit $E_{m,k}$ le sous-A-espace vectoriel de U engendré par les $R_{p,j}$ tels que $p > m$ ou $p = m$ et $j \geq k$; montrer que $E_{m,k}$ est un idéal bilatère de U, et que si $L_{m,k}$ est l’idéal à gauche de F engendré par $E_{m,k}$, $L_{m,k}$ est un idéal bilatère de F.

c) Pour tout multiindice $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbf{N}^n$, on pose $X^\alpha = X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \ldots X_n^{\alpha_n}$. Montrer que les éléments $X^\alpha R_{m,k}$ ($m > 0, 1 \leq k \leq d_m$) forment une base de F sur K. (Pour prouver que ces éléments forment un système générateur de l’espace vectoriel F, prouver que tout élément $X_{i_1} \ldots X_{i_r}$ en est une combinaison linéaire en procédant par récurrence sur le degré r. Pour voir que les $X^\alpha R_{m,k}$ sont linéairement indépendants, raisonner par l’absurde en considérant le degré maximum par rapport à un des $X_i$ des monômes $X^\alpha$ qui figureraient dans une relation linéaire entre les $X^\alpha R_{m,k}$ et procéder par récurrence sur ce degré maximum; pour cela, se ramener au cas où K est infini (en considérant au besoin $F \otimes_K K'$ pour un surcorps $K'$ de K), et observer que lorsque dans un $R_{m,k}$ on substitue $X_i + \lambda$ à $X_i$, pour un $\lambda \in K'$, l’élément $R_{m,k}$ ne change pas.)

d) Montrer que l’idéal bilatère $\mathfrak{J}(F)$ de F engendré par les commutateurs $[u, v] = uv - vu$ d’éléments de F est la somme des $U_m$ pour $m \geq 2$; $F/\mathfrak{J}(F)$ est isomorphe à $A[X_1, \ldots, X_n]$, donc est un anneau intègre.

e) Montrer que l’algèbre U n’est pas une algèbre associative libre en prouvant que le quotient $U/\mathfrak{J}(U)$, où $\mathfrak{J}(U)$ est engendré par les commutateurs des éléments de U, admet des éléments $\neq 0$ nilpotents. (Considérer l’image $z'$ dans $U/\mathfrak{J}(U)$ de l’élément $z = [X_i, X_j]$ de U; on a $z' \neq 0$ mais ${z'}^4 = 0$.)