Bài tập 5, § 2

Cho $K$ là một trường có vô hạn phần tử và $Q$ là đại số quaternion trên $K$, kiểu $(-1, 0, -1)$ (III, p 445). Chứng minh rằng đa thức $X^2 + 1$ có vô hạn nghiệm trong $Q$.

16) Cho $K$ là một trường hữu hạn có $q$ phần tử. a) Trong vành $K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ gọi $a$ là iđêan sinh bởi $n$ đa thức

X_i^q - X_i \quad (1 \leq i \leq n). Chứng minh rằng nếu $f \in a$, thì $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ với mọi $(x_i) \in K''$ (hãy lưu ý rằng nhóm nhân $K^*$ có cấp $q - 1$). b) Nếu $f$ là một đa thức bất kỳ của $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, hãy chứng minh rằng tồn tại chính xác một đa thức $\overline{f}$ sao cho $\deg, \overline{f} \leq q - 1$ đối với $1 \leq i \leq n$ và sao cho $f \equiv \overline{f} \pmod{a}$. Do đó ta có $\deg \overline{f} \leq \deg f$; nếu $f$ thỏa mãn $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ với mọi $(x_i) \in K''$, thì $f$ thuộc iđêan $a$, iđêan này vì thế là ảnh ngược của 0 dưới đồng cấu $f \mapsto \overline{f}$ (dùng Bài tập 1). c) Cho $f_1, f_2, ..., f_m$ là các đa thức khác không của $K[X_1, X_2, ..., X_n]$ sao cho $f_i(0, 0, ..., 0) = 0$ ($1 \leq i \leq m$) và tổng các bậc toàn phần của các $f_i$ là < $n$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $(x_1, x_2, ..., x_n) \in K''$ khác với $(0, 0, ..., 0)$ sao cho

(Hãy lưu ý rằng nếu điều này không đúng, thì đa thức $\prod_{i=1}^m (1 - f_i^{q-1})$ sẽ đồng dư mod $a$ với đa thức $\prod_{i=1}^n (1 - X_i^{q-1})$. và dùng b)). 7) Cho $K$ là một trường hữu hạn có $q$ phần tử, và $B$ là vành tích $K^l$ trong đó $l$ là một tập vô hạn. Hãy cho một ví dụ về một đa thức khác không $f$ của $B[X]$ sao cho $f(x) \neq 0$ với mọi $x \in B$. 8) Cho $B$ là nhóm cộng $\mathbf{Z} \oplus (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$, với cấu trúc vành giao hoán thu được bằng cách đặt $(a, b) \cdot (a', b') = (aa', ab' + ba')$ đối với $(a, b) \in B$ và $(a', b') \in B$. Đặt $\varepsilon = (0, 1) \in B$, và $f(X) = \varepsilon X(X-1) \in B[X]$. Khi đó $f(\alpha) = 0$ với mọi $\alpha \in B$. 9) Cho $k$ là một số nguyên > 0 sao cho $k . 1 = 0$ trong $A$. Cho $h$ là một số nguyên > 0 và $f$ là đa thức $(X-\alpha)^{k+h} + (X-\alpha)^k$. Khi đó $a$ là một nghiệm bậc $k$ của f và một nghiệm bậc $\geq k + h - 1$ của $Df$. \* 10) Cho $f$ là một phần tử khác không của $Z[X_1, ..., X_n]$. Cho $N(q)$ là số các nghiệm của f trong ô $|x_1| \leq q, ..., |x_n| \leq q$. Khi đó $N(q)/q^n$ tiến tới 0 khi $q \to + \infty$. 11) Cho $P$ là tập hợp mọi số nguyên tố, $P'$ là một tập con vô hạn của $P$ và $f \in Z[(X_i)]$. Với mỗi $p \in P'$ đặt $f_p$ là phần tử của $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})[(X_i)]$ thu được bằng cách áp dụng lên các hệ số của $f$ đồng cấu chính tắc từ $\mathbf{Z}$ lên $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. Giả sử rằng với mỗi $p \in P'$ và mỗi $x \in (\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})'$ ta có $f_p(x) = 0$; khi đó $f = 0$. 12) Cho $M$ là một $A$-môđun, và cho $\alpha_0, ..., \alpha_n \in A$ sao cho với $i \neq j$ phép vị tự đối với $\alpha_i - \alpha_j$ trong $M$ là song ánh. Với mọi $m_0, ..., m_n \in M$ tồn tại một và chỉ một $f \in M[X]$ sao cho $f(\alpha_i) = m_i$ với $0 \leq i \leq n$ và $\deg f \leq n$. 13) Cho $a, (1 \leq i \leq n)$ là $n$ phần tử phân biệt của một trường giao hoán $K$, $\beta_i$ ($1 \leq i \leq n$) và $\gamma_i$ ($1 \leq i \leq n$) là 2n phần tử tùy ý của $K$. Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một đa thức $f \in K[X]$ bậc $\leq 2n - 1$ sao cho $f(\alpha_i) = \beta_i$ và $f''(\alpha_i) = \gamma_i$ với $1 \leq i \leq n$ (công thức nội suy Hermite) (trước hết hãy xét trường hợp trong đó $2n - 1$ của $2n$ phần tử $\beta_i, \gamma_i$ bằng không).