Bài tập 6, § 2

Cho $K$ là một trường hữu hạn có $q$ phần tử. (a) Trong vành $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, cho $a$ là iđêan sinh bởi $n$ đa thức $X_i^q - X_i$ (1 \leq i \leq n). Bây giờ chứng minh rằng nếu $f \in a$, ta có $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ với mọi $(x_i) \in K^n$ (nhận xét rằng nhóm nhân $K^*$ có cấp $q - 1$).

(b) Nếu $f$ là một đa thức bất kỳ của $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đa thức $\overline{f}$ sao cho $\deg_i \overline{f} \leq q - 1$ cho $1 \leq i \leq n$, và sao cho $f \equiv \overline{f}$ (mod. $a$). Do đó ta có $\deg \overline{f} \leq \deg f$; nếu $f$ sao cho $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ với mọi $(x_i) \in K^n$, thì $f$ thuộc iđêan $a$, iđêan này do đó là ảnh ngược của 0 qua đồng cấu $f \mapsto \overline{f}$ (sử dụng bài tập 1).

(c) Cho $f_1, f_2, ..., f_m$ là các đa thức khác không của $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, sao cho $f_i(0, 0, ..., 0) = 0$ ($1 \leq i \leq m$), và sao cho tổng các bậc toàn phần của các $f_i$ là $< n$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử $(x_1, x_2, ..., x_n) \in K^n$, phân biệt với $(0, 0, ..., 0)$, và sao cho

(Nhận xét rằng, nếu không như vậy, đa thức $\prod_{i=1}^m (1 - f_i^{q^{-1}})$ sẽ đồng dư modulo $a$ với đa thức $\prod_{i=1}^n (1 - X_i^{q^{-1}})$, và sử dụng b).)