Exercice 6, § 2

Soit $K$ un corps fini ayant $q$ éléments. a) Dans l’anneau $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, soit $a$ l’idéal engendré par les $n$ polynômes $X_i^q - X_i$ (1 \leq i \leq n). Montrer que si $f \in a$, on a $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ pour tout $(x_i) \in K^n$ (remarquer que le groupe multiplicatif $K^*$ est d’ordre $q - 1$).

b) Si $f$ est un polynôme quelconque de $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, montrer qu’il existe un polynôme $\overline{f}$ et un seul tel que $\deg_i \overline{f} \leq q - 1$ pour $1 \leq i \leq n$, et tel que $f \equiv \overline{f}$ (mod. $a$). On a donc $\deg \overline{f} \leq \deg f$; si $f$ est tel que $f(x_1, x_2, ..., x_n) = 0$ pour tout $(x_i) \in K^n$, $f$ appartient à l’idéal $a$, qui est donc l’image réciproque de 0 par l’homomorphisme $f \mapsto \overline{f}$ (utiliser l’exerc. 1).

c) Soient $f_1, f_2, ..., f_m$ des polynômes $\neq 0$ de $K[X_1, X_2, ..., X_n]$, tels que $f_i(0, 0, ..., 0) = 0$ ($1 \leq i \leq m$), et que la somme des degrés totaux des $f_i$ soit $< n$. Montrer qu’il existe un élément $(x_1, x_2, ..., x_n) \in K^n$, distinct de $(0, 0, ..., 0)$, et tel que

(Remarquer que, s’il n’en était pas ainsi, le polynôme $\prod_{i=1}^m (1 - f_i^{q^{-1}})$ serait congru modulo $a$ au polynôme $\prod_{i=1}^n (1 - X_i^{q^{-1}})$, et utiliser b).)