Ghi chú lịch sử

(Các Chương IV và V)

(Các số trong ngoặc chỉ thư mục ở cuối Chú giải này.)

Lý thuyết về các trường giao hoán - và lý thuyết về các đa thức vốn liên quan chặt chẽ với nó - bắt nguồn trực tiếp từ điều vốn cấu thành, cho đến giữa thế kỷ 19, đối tượng chính của Đại số cổ điển : việc giải các phương trình đại số, và các bài toán về phép dựng hình học tương đương với chúng.

Ngay khi người ta tìm cách giải một phương trình đại số bậc $> 1$, người ta thấy mình đứng trước những khó khăn tính toán hoàn toàn mới, vì không còn có thể xác định ẩn số bằng cách thực hiện những phép tính « hữu tỉ » trên các dữ kiện. Khó khăn này hẳn đã được nhận thấy từ rất sớm ; phải kể vào số những đóng góp quan trọng nhất của người Babylon việc họ đã có thể rút gọn việc giải các phương trình bậc hai và bậc bốn trùng phương về một phép toán đại số mới duy nhất, việc khai căn bậc hai, (điều được chứng tỏ bởi nhiều phương trình số đã được tìm thấy là được giải theo cách ấy trong các văn bản truyền lại cho chúng ta ([1], p. 183-193)). Về mặt tính toán hình thức, Cổ đại không bao giờ vượt quá điểm này trong bài toán giải các phương trình đại số ; thực vậy, người Hy Lạp thời cổ điển chỉ tự giới hạn vào việc diễn đạt lại các công thức Babylon bằng ngôn ngữ hình học, và việc sử dụng chúng dưới dạng đại số không được ghi nhận trước Hero (100 sau CN) và Diophantus.

Chính theo một hướng hoàn toàn khác mà người Hy Lạp đã đạt được những tiến bộ quyết định. Chúng ta có ít thông tin về cách thức người Babylon quan niệm và tính các căn bậc hai của những số nguyên không phải là bình phương hoàn hảo \* ; trong những văn bản hiếm hoi về vấn đề này còn truyền lại cho chúng ta, dường như họ đã bằng lòng với những phương pháp gần đúng khá thô sơ ([1], p. 33-38). Trường phái Pythagore, vốn đã xác định một cách khá chặt chẽ khái niệm các đại lượng thông ước được và gắn cho nó một tính chất gần như tôn giáo, đã không thể giữ nguyên quan điểm ấy ; có thể chính sự thất bại của những cố gắng lặp đi lặp lại nhằm biểu diễn $\sqrt{2}$ một cách hữu tỉ đã cuối cùng dẫn họ tới việc chứng minh rằng số này là vô tỉ **.

\* Trong mọi ví dụ về phương trình bậc hai và bậc bốn trùng phương trong các văn bản Babylon, các dữ kiện luôn luôn được chọn sao cho các căn thức áp dụng lên các bình phương hoàn hảo. ** Một tác giả gần đây đã nêu ra nhận xét khéo léo rằng phép dựng ngôi sao năm cánh đều, vốn người Pythagore đã biết (đối với họ đó là một trong những biểu tượng huyền bí),

Chúng tôi đã nói ở nơi khác (x. Ghi chú lịch sử của Quyển III, Chương IV) việc phát minh này, vốn đánh dấu một bước ngoặt trong lịch sử Toán học, đã tác động sâu sắc thế nào lên quan niệm về « số » nơi người Hy Lạp, và đã dẫn họ tới việc tạo ra một đại số có tính chất thuần túy hình học, nhằm tìm một phương thức biểu diễn (hoặc có lẽ một chứng minh « tồn tại ») cho các tỉ số không thông ước được, mà họ từ chối coi như các số. Thông thường nhất, một bài toán đại số được họ rút về giao của hai đường cong phẳng phụ trợ, được chọn một cách thích hợp, hoặc về nhiều lần xác định liên tiếp các giao điểm như vậy. Những truyền thống muộn có ít thẩm quyền quy cho Plato việc đưa ra một sự phân loại đầu tiên các phép dựng ấy, vốn có một sự nghiệp lâu dài và rực rỡ : dường như vì những lý do triết học hơn là toán học mà những gì được gọi là « các phép dựng bằng thước và compa », tức là những phép dựng trong đó các đường cong phụ trợ duy nhất xuất hiện là đường thẳng và đường tròn, đã được tách riêng ra *. Dù sao đi nữa, Euclid trong bộ Elements [2] của ông tự giới hạn hoàn toàn ở việc khảo sát những bài toán có thể giải theo cách này (tuy không đặc trưng hóa chúng bằng một tên gọi riêng nào); một hoàn cảnh chắc chắn đã góp phần không nhỏ vào việc cố định sự chú ý của các nhà toán học những thế kỷ sau vào các bài toán ấy. Nhưng ngày nay chúng ta biết ** rằng các phương trình đại số có thể giải « bằng thước và compa » thuộc một kiểu rất đặc biệt ; đặc biệt, một phương trình bất khả quy ngay lập tức dẫn tới một chứng minh về tính vô tỉ của $\sqrt{5}$, và ông đã nêu ra giả thiết (đáng tiếc là không được một văn bản nào hậu thuẫn) rằng chính theo cách ấy mà người Pythagore đã phát hiện ra các số vô tỉ (K. von Fritz, Ann. of Math., vol. 46 (1945), p. 242).

\* Liên hệ với nguyên lý này, người ta cũng quy cho Plato sự phân loại các đường cong phẳng thành « quỹ tích phẳng » (đường thẳng và đường tròn), « quỹ tích khối » (các đường conic, thu được bởi thiết diện phẳng của một vật thể khối, hình nón), còn mọi đường cong khác đều được gộp lại dưới tên « τόποι γραμμικοί ». Thật kỳ lạ khi thấy ảnh hưởng của sự phân loại này còn kéo dài đến cả Descartes, người trong bộ Geometry của mình xếp vào cùng một « genus » các phương trình bậc $2n - 1$ và $2n$, hẳn là vì những phương trình bậc 1 hoặc 2 được giải bằng các giao của những « quỹ tích phẳng », còn những phương trình bậc 3 hoặc 4 bằng các giao của những « quỹ tích khối ».

** Việc xác định các điểm giao của một đường thẳng và một đường tròn (hoặc của hai đường tròn) tương đương với việc tìm nghiệm của một phương trình bậc hai mà các hệ số là những hàm hữu tỉ của các hệ số của các phương trình của đường thẳng và đường tròn (hoặc của hai đường tròn) đang xét. Dễ dàng suy ra rằng các tọa độ của một điểm được dựng « bằng thước thẳng và compa » từ các điểm đã cho thuộc về một mở rộng L của trường Q các số hữu tỉ, thu được như sau: nếu K là trường nhận được bằng cách ghép thêm vào Q các tọa độ của các điểm đã cho, thì tồn tại một dãy tăng $(L_i)_{0 \leq i \leq n}$ các trường trung gian giữa K và L, thỏa mãn các điều kiện $K = L_0, \quad L = L_n, \quad [L_i : L_{i-1}] = 2$ với $1 \leq i \leq n$. Bằng quy nạp theo n suy ra rằng bậc trên K của mở rộng Galois N sinh bởi L là một lũy thừa của 2 ; ngược lại có thể chứng minh rằng nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì tồn tại một dãy $(L_i)$ các trường trung gian giữa K và L có các tính chất trên, và do đó bài toán đã nêu có thể giải được bằng thước thẳng và compa (x. N. Tschebotarow, Grundzuge der Galoisschen Theorie (transl. H. Schwerdtfeger), Groningen (P. Noordhoff), 1950, p. 351).

bậc 3 (trên trường các số hữu tỉ) không thể được giải theo cách này, và người Hy Lạp đã gặp từ khá sớm những bài toán bậc 3 đã trở nên nổi tiếng, như phép nhân đôi khối lập phương (nghiệm của $x^3 = 2$) và phép chia ba một góc; mặt khác, việc cầu phương hình tròn đặt họ trước một bài toán siêu việt. Ta thấy rằng để giải các bài toán ấy họ đã đưa vào nhiều đường cong, vừa đại số (các thiết diện cônic, đường cissoid của Diocles, đường conchoid của Nicomedes) vừa siêu việt (đường quadratrix của Dinostratus, đường xoắn ốc của Archimedes); tất cả điều đó tất yếu đã dẫn họ đến việc tiến hành một nghiên cứu độc lập về các đường cong khác nhau ấy, nhờ đó mở đường cho các phát triển sau này của Hình học giải tích, Hình học đại số và Phép tính vi tích phân. Nhưng các phương pháp đó không đem lại tiến bộ nào cho việc giải các phương trình đại số *, và công trình duy nhất của thời Cổ đại đã có đóng góp đáng kể cho vấn đề này và gây ảnh hưởng lâu dài lên các nhà đại số học thời Trung cổ và Phục hưng là Quyển X của Các yếu tố của Euclid [2]; trong quyển này (mà các kết quả chính được một số nhà sử học quy cho Theaetetus), ông xét các biểu thức thu được bằng cách kết hợp nhiều căn thức như $\sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$ (a và b hữu tỉ), nêu các điều kiện để các biểu thức ấy là vô tỉ, phân loại chúng thành nhiều phạm trù (mà ông chỉ ra là phân biệt) và nghiên cứu các quan hệ đại số giữa các vô tỉ khác nhau ấy, chẳng hạn những quan hệ mà ngày nay ta sẽ viết là

mọi điều đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học quen thuộc của Các yếu tố, điều này làm cho phần trình bày đặc biệt trù mật và vụng về.

Sau sự suy tàn của Toán học Hy Lạp cổ điển, các khái niệm liên quan đến các phương trình đại số đã trải qua sự biến đổi. Không thể nghi ngờ rằng trong suốt toàn bộ thời kỳ cổ điển, người Hy Lạp đã có những phương pháp xấp xỉ vô hạn đối với các căn bậc hai, về những phương pháp ấy đáng tiếc là chúng ta được biết quá ít **.

\* Trong khi không có một phương pháp tính toán đại số thuận tiện, người ta không thấy dấu vết nào nơi người Hy Lạp của một sự phân loại các bài toán mà họ không thể giải bằng thước thẳng và compa; người Ả Rập là những người đầu tiên quy nhiều bài toán thuộc loại ấy (chẳng hạn phép dựng các đa giác đều 7 hoặc 9 cạnh) về các phương trình bậc 3.

** Chẳng hạn, phương pháp của Archimedes để tính gần đúng số $\pi$ đòi hỏi phải biết một số căn bậc hai với độ gần đúng khá tốt, nhưng chúng ta không biết thủ tục mà Archimedes đã dùng để thu được các giá trị ấy. Phương pháp xấp xỉ của $\sqrt{2}$ cho phép khai triển số này thành « phân số liên tục » được biết (dưới dạng hình học) từ một văn bản của Theon xứ Smyrna (thế kỷ thứ 2 sau CN), nhưng có lẽ còn quay về đến những người Pythagoras đầu tiên. Còn đối với phương pháp xấp xỉ vô hạn các căn bậc hai vẫn còn được dùng ngày nay trong giảng dạy sơ cấp, thì không có tư liệu nào nói đến trước Theon xứ Alexandria (thế kỷ thứ 4 sau CN), mặc dù hẳn là nó đã được Ptolemy biết đến. Cuối cùng xin chú ý rằng một phép tính gần đúng một căn bậc ba được thấy ở Hero (khoảng năm 100 sau CN) (x. G. Eneström, Bibl. Math. (3), vol. VIII (1907), p. 412).

Với người Hindu, rồi người Ả Rập và những người mô phỏng phương Tây của họ thời Trung cổ, việc khai căn ở mọi bậc trở thành một phép toán có khuynh hướng được coi là cơ bản với cùng một quyền như các phép toán hữu tỉ của đại số, và cũng như các phép toán sau, được ký hiệu bằng những biểu tượng ngày càng dễ thao tác hơn trong tính toán *. Lý thuyết về phương trình bậc hai đã được hoàn thiện trong thời Trung cổ (số nghiệm, nghiệm âm, trường hợp bất khả, nghiệm kép), và lý thuyết về các phương trình trùng phương, đã cung cấp các mẫu của các công thức giải phương trình « bằng căn thức », theo đó các nhà đại số học trong nhiều thế kỷ sẽ cố mô phỏng những công thức tương tự để giải các phương trình bậc cao hơn, trước hết là phương trình bậc 3. Leonardo xứ Pisa, người có công chủ yếu trong việc đưa khoa học Ả Rập vào phương Tây ở thế kỷ 13, đã nhận ra rằng trong mọi trường hợp các vô tỉ được Euclid phân loại trong quyển thứ mười của ông không thể dùng cho mục đích này (một chứng minh bất khả mới trong một lý thuyết đầy rẫy những chứng minh như thế), và ta đã thấy ông thử ngay những phép tính tương tự cho các căn bậc ba, thu được những quan hệ như

tương tự như các công thức của Euclid cho các nghiệm bình phương (và trên thực tế ta còn thấy những ví dụ sớm hơn ở người Ả Rập). Nhưng còn phải trải qua ba thế kỷ nỗ lực vô ích trước khi Scipio del Ferro, vào đầu thế kỷ 16, cuối cùng đi tới công thức nghiệm của phương trình $x^3 + ax = b$:

(1)

Chúng tôi không mô tả ở đây khía cạnh đầy màu sắc của phát minh gây chấn động này — những cuộc tranh cãi mà nó gây ra giữa Tartaglia một bên và Cardano cùng trường phái của ông ở bên kia — cũng như chân dung thường rất hấp dẫn của các học giả là những nhân vật chính. Nhưng phải chú ý đến bước tiến quyết định tiếp theo trong lý thuyết phương trình do Cardano và các học trò của ông thực hiện. Cardano, người ít ác cảm hơn đa số các người cùng thời đối với việc dùng các số âm, nhờ đó nhận thấy rằng các phương trình bậc ba có thể có ba nghiệm, và các phương trình song bậc hai có thể có bốn nghiệm ([3] vol. IV, p. 259), và ông nhận xét rằng tổng của ba nghiệm của $x^3 + bx = ax^2 + c$ (một phương trình mà ông biết cách làm triệt tiêu số hạng theo $x^2$) luôn luôn bằng a (ibid.). Được dẫn dắt chắc hẳn bởi quan hệ này và trực giác về đặc trưng tổng quát của nó, ông là người đầu tiên nảy ra khái niệm về bội số của một nghiệm; trên hết, ông được khuyến khích (không phải không có những dè dặt hùng biện) để tính toán hình thức với những biểu thức chứa

\* Tính vô tỉ của $\sqrt[n]{a}$ khi a là một số nguyên không phải là một lũy thừa bậc n hoàn hảo, không được nhắc tới cũng không được chứng minh trước Stifel (thế kỷ 16); chứng minh của Stifel được xây dựng theo chứng minh của Euclid cho $n = 2$ và rất khó có khả năng phép tổng quát hóa dễ dàng này lại không được nhận thấy sớm hơn.

các căn bậc hai của số âm. Có thể ông đã đi tới điều này do thực tế là các biểu thức như vậy xuất hiện một cách tự nhiên khi dùng công thức (1) nếu $\left( \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{3} \right)^3 < 0$ (trường hợp gọi là « bất khả quy », trong đó Cardano đã nhận ra sự tồn tại của ba nghiệm thực); dù sao đi nữa, điều này được nêu bật một cách rõ ràng bởi học trò của ông là R. Bombelli, người trong Algebra của mình ([4], p. 293) chứng minh quan hệ

và cẩn thận nêu ra một cách tường minh các quy tắc của phép tính với các số phức dưới một dạng đã rất gần với các trình bày hiện đại *. Cuối cùng, vào năm 1545, một học trò khác của Cardano là L. Ferrari đã thành công trong việc giải phương trình tổng quát bậc 4, bằng một phương trình phụ bậc 3 **.

Sau những tiến bộ nhanh chóng như vậy, thời kỳ tiếp theo, cho đến giữa thế kỷ 18, hầu như chỉ phát triển rất ít các ý tưởng mới do Trường phái Ý đưa vào. Nhờ bước tiến cốt yếu mà ông đem lại cho ký hiệu đại số, Vieta đã có thể phát biểu một cách tổng quát các quan hệ giữa các hệ số và các nghiệm của một phương trình đại số, ít nhất là khi các nghiệm đều dương *** ([5], p. 158). Táo bạo hơn, A. Girard [6] không ngần ngại khẳng định (dĩ nhiên không có chứng minh) rằng một phương trình bậc $n$ có đúng $n$ nghiệm, với điều kiện các « nghiệm không thể có » cũng được đếm đến, mỗi nghiệm với bội số theo bậc của nó, và rằng các nghiệm ấy thỏa mãn các quan hệ do Vieta đưa ra; ông cũng thu được, lần đầu tiên, biểu thức của các tổng các lũy thừa bằng nhau của các nghiệm, cho đến số mũ 4.

Nhưng tinh thần của thế kỷ 17 lại hướng theo những phương hướng khác, và chỉ một cách gián tiếp mà Đại số mới gặt hái được đôi chút lợi ích từ các khám phá mới của Hình học giải tích và Phép tính vi tích phân. Vì vậy phương pháp của Descartes để thu được

\* Bombelli ([4], p. 169 and 190) xem các số phức như những « tổ hợp tuyến tính » với các hệ số dương, của bốn phần tử cơ sở: « piu » (+ 1), « meno » (− 1), « piu de meno » (+ $i$) và « meno de meno » (− $i$); đặc biệt ông đặt ra như một tiên đề rằng « piu » và « piu de meno » không thể cộng được với nhau, đây là sự xuất hiện đầu tiên của khái niệm độc lập tuyến tính.

** Khi phương trình được đưa về dạng $x^4 = ax^2 + bx + c$, ta xác định một số $z$ sao cho vế phải của phương trình

là một bình phương hoàn hảo, điều đó cho ta một phương trình bậc ba đối với $z$.

*** Vieta, một người ngưỡng mộ cuồng nhiệt các tác giả Cổ đại, có hệ thống tránh đưa các số âm vào các lập luận của mình; tuy vậy đôi khi ông vẫn có thể diễn đạt theo ngôn ngữ của mình các quan hệ giữa hệ số và nghiệm khi một vài nghiệm trong số đó là âm; chẳng hạn, nếu phương trình $x^3 + b = ax$ có hai nghiệm dương $x_1, x$, ($a > 0, b > 0$), Vieta chỉ ra rằng $x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = a$ và $x_1x_2(x_1 + x_2) = b$ ([5], p. 106).

các tiếp tuyến với các đường cong đại số (xem Chú thích lịch sử của Quyển IV, Chương I-II-III, p. 46) có liên quan đến tiêu chuẩn về bội số của một nghiệm của một phương trình đại số, do môn đệ của ông là Hudde phát biểu ([7], p. 433 và 507-509). Cũng không còn nghi ngờ gì nữa rằng chính ảnh hưởng của Descartes đã làm nảy sinh sự phân biệt giữa các hàm đại số và các hàm siêu việt, song song với sự phân biệt mà ông đưa ra trong tác phẩm Géométrie của mình giữa các đường cong « hình học » và các đường cong « cơ học » (xem Chú thích lịch sử của Quyển IV, Chương I-II-III, p. 46 và 61). Dù sao đi nữa, sự phân biệt này được J. Gregory trình bày hoàn toàn rõ ràng; vào năm 1667, ông thậm chí còn tìm cách chứng minh rằng diện tích của một hình quạt tròn không thể là một hàm đại số của dây cung và bán kính . Thuật ngữ « siêu việt » là do Leibniz đặt ra; suốt cả sự nghiệp của mình ông không ngừng quan tâm đến những vấn đề phân loại này và vào khoảng năm 1682, ông tìm ra một chứng minh đơn giản cho kết quả mà Gregory đang theo đuổi, bằng cách chứng minh rằng sin x không phải là một hàm đại số của x ([8], vol. V, p. 97-98)*. Cùng với người bạn Tschirnhaus, Leibniz thực ra là một trong số rất ít nhà toán học cùng thời vẫn còn quan tâm đến bài toán giải các phương trình đại số « bằng căn thức ». Thuở ban đầu, ta thấy ông nghiên cứu « trường hợp bất khả quy » của phương trình bậc 3, và tự thuyết phục mình (mà thực ra là với một chứng minh chưa đầy đủ) rằng trong trường hợp này không thể khử các đại lượng ảo khỏi các công thức nghiệm ([9], p. 547-564). Cũng vào khoảng thời gian ấy, ông công kích, cũng không thành công, việc giải bằng căn thức phương trình bậc 5; và về sau, khi Tschirnhaus cho rằng có thể giải bài toán bằng cách làm biến mất mọi hạng của phương trình trừ hai hạng đầu mút, nhờ một phép biến đổi dạng y = P(x), trong đó P là một đa thức bậc 4 được chọn thích hợp, Leibniz lập tức nhận thấy rằng các phương trình xác định các hệ số của P(x) có bậc > 5, và xem phương pháp ấy là tất yếu thất bại ([9], p. 402-403).

Dường như chính các nhu cầu của Giải tích mới đã dần dần khơi lại mối quan tâm đối với đại số. Việc lấy tích phân các phân thức hữu tỉ, do Leibniz và Johann Bernoulli thực hiện, và vấn đề các lôgarit ảo có liên hệ chặt chẽ với nó, đã tạo cơ hội để phát triển sâu hơn các phép tính với các số ảo và để nêu lại vấn đề phân tích một đa thức thành các nhân tử bậc nhất (« định lý cơ bản của đại-

\* J. Gregory, Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura..., Pataviae, 1667; xem G. Heinrich, Bibl. Math (3), vol. II (1901), p. 77-85.

** Định nghĩa do Leibniz đưa ra về các « đại lượng siêu việt » ([8], vol. V, p. 228; xem thêm ibid., p. 120) dường như áp dụng cho các hàm hơn là cho các số (theo ngôn ngữ hiện đại, điều ông làm tương đương với việc định nghĩa các phần tử siêu việt trên trường thu được bằng cách nối vào trường các số hữu tỉ các dữ kiện của bài toán); tuy nhiên, có khả năng là ông đã có một khái niệm khá rõ về các số siêu việt (mặc dù dường như các số này chỉ được định nghĩa một cách chính xác vào cuối thế kỷ 18); dù sao, ông cũng nhận xét một cách tường minh rằng một hàm siêu việt có thể nhận các giá trị hữu tỉ tại các giá trị hữu tỉ của biến, và do đó chứng minh của ông về tính siêu việt của sin x không đủ để chứng minh rằng $\pi$ là vô tỉ ([8], vol. V, p. 97 và 124-126).

số ») *. Ngay vào đầu thế kỷ 18, việc giải phương trình nhị thức $x^n - 1 = 0$ được Cotes và de Moivre quy về việc chia đường tròn thành $n$ phần bằng nhau; do đó, để thu được các biểu thức các nghiệm của nó « bằng căn thức », chỉ cần biết cách làm điều đó khi $n$ là một số nguyên tố lẻ, và de Moivre nhận xét rằng phép thế $y = x + \frac{1}{x}$ khi ấy quy bài toán về việc giải « bằng căn thức » một phương trình bậc $(n-1)/2$. Đối với « định lý cơ bản », sau những thất bại lặp đi lặp lại của một cách giải tổng quát « bằng căn thức » (kể cả nhiều thử nghiệm của Euler [10]), các nỗ lực bắt đầu hướng về những chứng minh tiên nghiệm, không dùng đến các công thức nghiệm tường minh. Không đi vào chi tiết các phương pháp đã được đề xuất (về sau sẽ đơm hoa kết trái trong các chứng minh của Lagrange và Gauss; xem các Chú thích lịch sử của Quyển II. Chương VI-VII và Quyển III, Chương VIII), ở đây cần lưu ý quan điểm từ đó người ta nhìn bài toán vào giữa thế kỷ 18; người ta thừa nhận (không có sự biện minh nào khác ngoài một cảm giác mơ hồ về tính tổng quát, chắc hẳn cũng như nơi A. Girard, xuất phát từ sự tồn tại của các hệ thức giữa các hệ số và các nghiệm) rằng một phương trình bậc $n$ luôn luôn có $n$ nghiệm « iđêan », mà trên đó có thể tiến hành các phép tính như trên các số, không cần biết chúng có phải là các số (thực hay phức) hay không; điều phải chứng minh (nếu cần thì dùng các phép tính trên các nghiệm iđêan) là ít nhất một trong các nghiệm ấy là một số phức thông thường **. Trong dạng khiếm khuyết này, có thể nhận ra mầm mống đầu tiên của ý tưởng tổng quát về « phép nối hình thức », ý tưởng mà bất chấp những phản đối của Gauss ([13], vol. III. p. 1) đã trở thành cơ sở của lý thuyết hiện đại về các trường giao hoán.

Với các hồi ký cơ bản của Lagrange ([11], a) và Vandermonde [12], năm 1770 chứng kiến sự mở đầu của một thời kỳ mới và có tính quyết định trong lịch sử các phương trình đại số. Chủ nghĩa kinh nghiệm của những thử nghiệm ít nhiều may mắn nhằm tìm ra các công thức nghiệm, vốn cho đến khi đó ngự trị không chia sẻ, được tiếp theo bởi một sự giải tích có hệ thống các bài toán được đặt ra và các phương pháp có khả năng giải chúng; sự giải tích này trong sáu mươi năm đã dẫn tới các kết quả dứt khoát của Galois. Cả Lagrange lẫn Vandermonde đều xuất phát từ tính nước đôi do các cách xác định bội của các căn thức trong các công thức giải phương trình bậc $\leq 4$ đưa vào; sự kiện này trước đó đã thu hút sự chú ý của Euler ([lo], a), người đã chỉ ra trong nhiều điều khác nữa cách trong công thức của del Ferro người ta phải phối hợp các căn thức xuất hiện ở đó như thế nào để thu được 3 nghiệm chứ không phải 9. Lagrange nhận thấy rằng mỗi căn bậc ba trong công thức của del Ferro có thể được

\* Người ta có được một ý niệm đúng về trạng thái sơ khai của các phép tính với số phức ở thời kỳ đó khi thấy Leibniz (tuy vậy lại là một trong những người thành thạo nhất kỹ thuật ấy, trong số các nhà toán học cùng thời) phát biểu như thể không thể phân tích $x^4 + 1$ thành hai nhân tử thực bậc hai ([8], vol. V, p. 359-360).

** Cần lưu ý rằng điều mà các nhà toán học thế kỷ 18 gọi là « nghiệm ảo » thường chỉ là các nghiệm « iđêan » nói trên; và họ cố chứng minh rằng các nghiệm ấy có dạng $a + b \sqrt{-1}$ (xem chẳng hạn [11], b).

viết dưới dạng $\frac{1}{3} (x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$, trong đó $\omega$ là một căn bậc ba của đơn vị và $x_1, x_2, x_3$ là các nghiệm của phương trình đã cho, lấy theo một thứ tự nào đó, và ông đã đưa ra nhận xét cơ bản rằng hàm $(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)^3$ của ba nghiệm ấy chỉ có thể nhận hai giá trị phân biệt đối với mọi phép hoán vị của ba nghiệm, điều này giải thích tiên nghiệm sự thành công của các phương pháp giải phương trình này. Một sự giải tích tương tự đối với các phương pháp giải phương trình bậc 4 dẫn ông tới hàm $x_1 x_2 + x_3 x_4$ của bốn nghiệm, hàm này chỉ nhận ba giá trị phân biệt đối với mọi phép hoán vị của các nghiệm và do đó là nghiệm của một phương trình bậc ba với các hệ số là những hàm hữu tỉ theo các hệ số của phương trình đã cho *; các sự kiện ấy, như Lagrange nói, cấu thành « các nguyên lý thực sự và, có thể nói, siêu hình học ** của việc giải các phương trình bậc 3 và bậc 4 » ([11], a), p. 357). Được dẫn dắt bởi các ví dụ ấy, ông dự định nghiên cứu nói chung, đối với một phương trình bậc $n$, số $v$ các giá trị *** mà một hàm hữu tỉ V của $n$ nghiệm có thể nhận khi các nghiệm ấy bị hoán vị tùy ý; như vậy trên thực tế ông khai mở (trong thuật ngữ này còn thích nghi chặt chẽ với lý thuyết các phương trình) lý thuyết nhóm và lý thuyết trường, mà ông đã thu được nhiều kết quả cơ bản bằng cách sử dụng cùng những nguyên lý với các nguyên lý ngày nay vẫn được dùng. Chẳng hạn, ông chỉ ra rằng số $v$ là một ước của $n!$, bằng lập luận mà ngày nay dùng để chứng minh rằng cấp của một nhóm con của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm này. Còn đáng chú ý hơn nữa là định lý trong đó ông chỉ ra rằng nếu $V_1$ và $V_2$ là hai hàm hữu tỉ của các nghiệm sao cho $V_1$ và $V_2$ bất biến dưới cùng những phép hoán vị, thì mỗi hàm đều là một hàm hữu tỉ của hàm kia và của các hệ số của phương trình (một trường hợp riêng của định lý Galois đặc trưng một trường mở rộng con của một mở rộng Galois như trường các bất biến của nhóm Galois của nó): « Bài toán này », ông nói, « đối với tôi dường như là một trong những bài toán quan trọng nhất của lý thuyết các phương trình, và nghiệm tổng quát mà chúng tôi sẽ đưa ra sẽ giúp soi sáng mới phần này của Đại số » ([11], a), p. 374).

Tất cả những nghiên cứu này, một cách tự nhiên trong tư tưởng của Lagrange, đều là những bước chuẩn bị cho sự giải tích các phương pháp có thể có để giải các phương trình đại số bằng cách lần lượt hạ về các phương trình bậc thấp hơn; như ông chỉ ra, một phương pháp như vậy liên quan tới việc lập thành những hàm hữu tỉ của các nghiệm nhận ít hơn $n$ giá trị dưới phép hoán vị các nghiệm. Hẳn là được dẫn dắt bởi các kết quả về phương trình bậc 3, ông đưa vào nói chung các « giải thức Lagrange » $y_k = \sum_{h=1}^n \omega_k^h x_h$, trong đó

\* Waring cũng đưa ra nhận xét này trong Meditationes algebraicae của ông, xuất bản cùng trong năm 1770 ấy, nhưng ông còn xa mới rút ra được những kết luận như Lagrange. ** Trong từ này, tuôn ra rất thường xuyên từ ngòi bút của các tác giả thế kỷ 18, người ta có thể nhận ra một cái nhìn thoáng qua đầu tiên (còn rất mơ hồ) về khái niệm hiện đại của cấu trúc. *** Lagrange đã phân biệt giữa các phân thức hữu tỉ khác nhau thu được từ $V$ bằng cách hoán vị các bất định thức $x_i$ ($1 \leq i \leq n$), và các giá trị khác nhau mà các phân thức ấy nhận khi các $x_i$ là nghiệm của một phương trình đại số với các hệ số số cho trước; nhưng trong trình bày của ông vẫn còn tồn tại một sự lưỡng lự nào đó về điểm này, và chỉ với Galois thì sự phân biệt mới trở nên rạch ròi.

ω_k là một căn bậc n của đơn vị (1 ≤ k ≤ n), chỉ ra rõ ràng rằng việc biết $n$ số này kéo theo việc biết các nghiệm $x_k$, và khảo sát nói chung bậc của phương trình mà các $y_k$ thỏa mãn; chẳng hạn ông chỉ ra rằng nếu n là nguyên tố, thì các $y_k^n$ là các nghiệm của một phương trình bậc n − 1 mà các hệ số là những hàm hữu tỉ của một nghiệm của một phương trình bậc (n − 2)! với các hệ số có thể được biểu diễn hữu tỉ bằng các hệ số của phương trình đã cho. « Ở đây, trừ khi tôi lầm », ông kết luận, « là những nguyên lý thực sự của việc giải các phương trình, và là sự giải tích thích hợp nhất để dẫn chúng ta tới đó; như ta thấy, mọi sự đều quy về một loại phép tính các tổ hợp, nhờ đó người ta tìm được một cách tiên nghiệm các kết quả phải chờ đợi » ([11], a), p. 403).

Đối với hồi ký của Vandermonde, tuy độc lập với hồi ký của Lagrange, nó gặp gỡ hồi ký sau ở một số điểm, đặc biệt trong ý tưởng nghiên cứu các hàm hữu tỉ của các nghiệm nhận càng ít giá trị phân biệt càng tốt dưới các phép hoán vị của các nghiệm *, và việc nghiên cứu các « phân giải thức Lagrange » mà ông cũng đưa vào vì mục đích đó. Công trình của ông còn lâu mới có được tính sáng sủa và tính tổng quát như của Lagrange; tuy nhiên ở một điểm ông đi xa hơn hẳn, khi áp dụng cùng những ý tưởng ấy vào phương trình chia đường tròn x^n − 1 = 0, với n là một số nguyên tố lẻ. Trong khi Lagrange chỉ bằng lòng nhắc lại rằng phương trình này quy về một phương trình bậc m = (n − 1)/2 với các hệ số hữu tỉ, mà không tìm cách giải nó khi n ≥ 11, Vandermonde khẳng định rằng các lũy thừa bậc m của các phân giải thức Lagrange của phương trình sau là hữu tỉ, do các quan hệ giữa các nghiệm khác nhau của x^n − 1 = 0; nhưng ông chỉ tự giới hạn ở việc kiểm chứng tính có cơ sở của mệnh đề này cho n = 11, mà không biện minh nó trong trường hợp tổng quát.

Mãi 30 năm sau thì kết quả do Vandermonde công bố mới được C. F. Gauss chứng minh hoàn toàn . Những kết quả quyết định của ông về phương trình x^n − 1 = 0 (n là một số nguyên tố lẻ) ăn khớp với chương trình tổng quát của những nghiên cứu số học đáng ghi nhớ của ông ([13], vol. I, p. 413 et seq.), và đặc biệt minh họa sự thành thạo của ông trong thao tác với cái mà ngày nay ta gọi là lý thuyết các nhóm cyclic. Sau khi đã chứng minh rằng đa thức Φ_n(x) = (x^n − 1)/(x − 1) là bất khả quy đối với n nguyên tố lẻ *, ông nảy ra ý tưởng viết n − 1 nghiệm của nó dưới dạng

\* Trong nghiên cứu này (mà trên thực tế ông chỉ phát triển cho các phương trình bậc 5) xuất hiện lần đầu tiên khái niệm tính không nguyên thủy ([12], p. 390-391). Cũng rất hấp dẫn khi so sánh các phương pháp của Lagrange và Vandermonde với công trình đương thời của họ về các định thức, vốn khiến họ quen thuộc với ý tưởng về một phép hoán vị và mọi điều gắn với nó.

** Gauss không dẫn Vandermonde trong Disquisitiones của ông, nhưng có thể là ông đã đọc hồi ký của người sau (xem [13], vol. X_2, Abh. 4, p. 58).

*** Khái niệm đa thức bất khả quy (với các hệ số hữu tỉ) đã có từ thế kỷ 17, và Newton cùng Leibniz đã nêu ra những quy trình cho phép (ít nhất về mặt lý thuyết) xác định các thừa số bất khả quy của một đa thức với các hệ số hữu tỉ tường minh ([8], vol. IV, p. 329 and 355); nhưng chứng minh của Gauss là chứng minh bất khả quy đầu tiên áp dụng cho cả một lớp đa thức có bậc cao tùy ý.

ζ^{g^k} = ζ_k \quad (0 \leq k \leq n - 2), trong đó g là một căn nguyên thủy của đồng dư thức z^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} (điều này, theo thuật ngữ hiện đại, có nghĩa là làm nổi bật sự kiện rằng nhóm $\Gamma$ của phương trình $\Phi_n(x) = 0$ là cyclic). Với mỗi ước e của $n - 1$ ông gắn các « chu kỳ » $f = (n - 1)/e$ $\eta_v = 5, + \zeta_{v+}, + \zeta_{v+2e} + \ldots + \zeta_{v+(f-1)e}$ ($1 \leq v \leq f$) và về thực chất ông chỉ ra rằng các tổ hợp tuyến tính với hệ số hữu tỉ của các $\eta_v$ lập thành một trường, được sinh bởi bất kỳ một nào trong f chu kỳ $\eta_v$, và có bậc f trên trường các số hữu tỉ (dĩ nhiên trường này tương ứng với nhóm con của $\Gamma$ có cấp e). Ở đây chúng ta không thể đi vào các chi tiết của phép giải tích này, cũng như của những hệ quả số học quan trọng mà nó kéo theo; chỉ xin lưu ý rằng đặc biệt nó đã đem lại cho ông định lý nổi tiếng về khả năng xây dựng « bằng thước và compa » các đa giác đều có số cạnh bằng một số nguyên tố có dạng $2^{2^k} + 1$*. Về các nghiệm bằng căn thức của phương trình $\Phi_n(x) = 0$, điều này theo dễ dàng từ lý thuyết chu kỳ, áp dụng cho lũy thừa bậc f của một phân giải thức Lagrange $\sum_{\nu=0}^{f-1} \omega^\nu \eta_\nu$ (trong đó $\sigma^f = 1$)**.

Chính trực tiếp với Lagrange mà các nghiên cứu của đồng hương ông là Ruffini được nối kết, đồng thời với Disquisitiones; tiếp tục vấn đề ở chỗ Lagrange đã để lại, chúng nhằm chứng minh sự bất khả của việc giải « bằng căn thức » phương trình « tổng quát »* bậc 5. Chứng minh của Ruffini, dài dòng và tối nghĩa, vẫn không đầy đủ, mặc dù đã được sửa lại nhiều lần; nhưng nó đã rất gần với chứng minh (đúng về nguyên lý) mà Abel thu được về sau**. Mối quan tâm chủ yếu của nó nằm ở việc đưa vào một phép tính các thế và những khái niệm đầu tiên của lý thuyết nhóm, mà

\* Gauss phát biểu tường minh rằng ông có một chứng minh cho sự kiện rằng đây là trường hợp duy nhất trong đó người ta có thể xây dựng bằng thước và compa một đa giác đều có số cạnh là một số nguyên tố lẻ ([13]. vol. I, p. 462); nhưng chứng minh này chưa bao giờ được công bố và đã không tìm thấy trong các bản thảo của ông.

** Thực ra, nếu ta chỉ muốn chứng minh rằng phương trình giải được bằng căn thức thì có thể chỉ cần xét trường hợp $e = 1$ và lập luận quy nạp theo $n$.

*** Theo đó, các nhà toán học thế kỷ 19 về thực chất hiểu một phương trình mà các hệ số là các ẩn định trên trường các số hữu tỉ. Nhưng khái niệm hiện đại về ẩn định hầu như chưa xuất hiện trước những năm cuối của thế kỷ 19; cho đến lúc đó, người ta luôn hiểu bởi « đa thức » hay « phân thức hữu tỉ » một hàm của các biến phức. Một phương trình đại số « tổng quát » được quan niệm như một phương trình mà các hệ số là những biến phức độc lập và các nghiệm của nó là những « hàm đại số » của các biến ấy - một khái niệm mà thật ra hoàn toàn không có nghĩa chính xác nào nếu ta cho từ a hàm » nghĩa hiện nay của nó. Dĩ nhiên, lập luận với những « hàm đại số » này nói chung là đúng về bản chất, như có thể xác định được bằng cách chuyển dịch nó sang ngôn ngữ đại số hiện đại.

**** Xem P. Ruffini, Opere Matematiche, 3 vol. Roma (Ed. Cremonese), 1953-1954, cũng như H. Burkhardt, Zeitschr. für Math. und Phys. vol. XXXVII (1892), Suppl. p. 121-159.

Ruffini triển khai để chỉ ra rằng không tồn tại hàm nào của 5 nghiệm của phương trình nhận nhiều hơn 2 và ít hơn 5 giá trị khi các nghiệm bị hoán vị một cách tùy ý.

Chúng tôi đã nói rồi (Chú thích lịch sử của Chương I) lý thuyết đầu tiên này về các nhóm hoán vị đã được Cauchy phát triển và hệ thống hóa như thế nào vài năm sau đó. Nhưng nếu các khái niệm cần thiết cho việc phát triển các ý tưởng của Lagrange về các phép thế nhờ đó dần dần được làm sáng tỏ, thì vẫn còn cần phải phát biểu những nguyên lý đầu tiên của lý thuyết các trường một cách cũng rõ ràng như vậy. Chính điều này là điều Ruffini còn thiếu, và điều mà Abel và Galois sẽ đảm nhiệm, trong giai đoạn cuối của bài toán về nghiệm của các phương trình đại số.

Trong suốt cuộc đời ngắn ngủi của mình Abel không bao giờ ngừng bị bài toán này ám ảnh. Khi còn hầu như là một đứa trẻ, ông đã tin rằng mình tìm được một công thức cho nghiệm bằng căn thức của phương trình tổng quát bậc 5. Về sau, khi nhận ra sai lầm của mình, ông không nghỉ cho đến khi thành công trong việc chứng minh rằng một công thức như vậy không tồn tại ([14], vol. I, p. 166). Nhưng ông không dừng lại ở đó. Trong khi đối thủ của ông là Jacobi phát triển lý thuyết các hàm elliptic như một nhà giải tích, thì chính quan điểm đại số chi phối công trình của Abel về vấn đề này, công trình tập trung vào lý thuyết các phương trình chia của các hàm elliptic ([14], vol. I, p. 265, 377 et passim). Nhờ đó ông thu được những kiểu phương trình mới giải được bằng căn thức, bằng một phương pháp phỏng theo phương pháp của Gauss đối với các phương trình chia của đường tròn ([14], vol. I, p. 310 and 358) *; từ kết quả ấy ông vươn tới khái niệm các phương trình « Abel », mà trong một hồi ký nổi tiếng ông chứng minh tính giải được bằng căn thức của chúng ([14], vol. I, p. 478); chính nhân dịp này ông định nghĩa một cách chính xác khái niệm đa thức bất khả quy trên một trường cho trước (trường sinh bởi các hệ số của phương trình mà ông đang nghiên cứu) **. Cuối cùng cái chết quật ngã ông vào năm 1829, khi ông đang tấn công bài toán tổng quát về đặc trưng hóa mọi phương trình giải được bằng căn thức, và vừa mới thông báo cho Crelle và Legendre những kết quả đã rất gần với các kết quả của Galois ([14], vol. II, p. 219-243, 269-270 and 279).

Chính Galois là người, ba năm sau, được dành cho việc hoàn tất tòa nhà ấy [15]. Như Abel, nhưng theo một cách còn chính xác hơn nữa, ông bắt đầu bằng việc định nghĩa (trừ thuật ngữ) sự thuộc của một đại lượng vào một trường sinh bởi những đại lượng đã cho, khái niệm phép nối và các đa thức bất khả quy trên một

\* Gauss đã chỉ ra trong Disquisitiones khả năng tổng quát hóa các phương pháp của mình cho các phương trình chia của lemniscate ([13], vol. I, p. 413), và đã phát triển, trong những ghi chú chỉ mới được công bố trong những năm gần đây, trường hợp riêng của phép chia cho 5 ([13], vol. X, p. 161-162 and 517). Cũng như biết bao chỉ dẫn ngắn gọn và bí ẩn khác mà Gauss thích rải rác trong các trước tác của mình, câu văn của Disquisitiones đã gây ấn tượng mạnh mẽ lên tâm trí những người cùng thời với ông; ta biết rằng nó đã góp phần không nhỏ khuyến khích Abel và Jacobi trong những nghiên cứu của họ về vấn đề này.

** Chính khái niệm trường (cũng như, nói chung hơn, khái niệm tập hợp) hầu như xa lạ với tư duy toán học trước Cantor và Dedekind. Abel và Galois định nghĩa các phần tử của « trường cơ sở » của họ là những phần tử có thể được biểu diễn hữu tỉ như một hàm của các đại lượng đã biết, mà không nghĩ đến việc xét một cách tường minh tập hợp tạo bởi các phần tử ấy.

trường. Cho một phương trình $F(x) = 0$ không có nghiệm bội, với các hệ số trong một trường cho trước $K$, ông lần lượt chỉ ra rằng « luôn luôn có thể tạo thành một hàm V của các nghiệm, sao cho không giá trị nào thu được bằng cách hoán vị các nghiệm theo mọi cách có thể trong hàm này lại bằng một giá trị khác », rằng hàm này « có tính chất là mọi nghiệm của phương trình đã cho đều có thể được biểu diễn hữu tỉ như một hàm của V » và rằng, nếu $V, V', V'', ...$ là các nghiệm của phương trình bất khả quy mà $V$ thỏa mãn, thì « nếu $a = f(V)$ là một nghiệm của phương trình đã nêu ra, thì $f(V')$ cũng vậy » ([15], p. 36-37); theo thuật ngữ hiện đại, như vậy ông chứng minh rằng $V$, cũng như mỗi phần tử liên hợp của nó trên $K$, đều sinh ra trường $N$ của các nghiệm của $F$. Sau đó ông định nghĩa nhóm $\Gamma$ của $F$ là tập hợp các phép hoán vị của các nghiệm $x_i$ thu được khi thay $V$ trong biểu thức hữu tỉ của mỗi $x_i$ như một hàm của $V$ bằng bất kỳ phần tử liên hợp nào của $V$; và ông lập tức thu được đặc trưng hóa cơ bản của các phần tử của $K$ bằng tính chất bất biến dưới mọi phép hoán vị của $\Gamma$ ([15], p. 38-39). Rồi ông chứng minh rằng nếu $N$ chứa trường nghiệm $L$ của một đa thức khác, thì nhóm của $N$ trên $L$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$ (một khái niệm mà nhân dịp này ông đưa vào) ([15], p. 41 and 25-26). Từ đó cuối cùng ông suy ra tiêu chuẩn để một phương trình giải được bằng căn thức, bằng một lập luận về cơ bản diễn ra như sau: giả sử trường cơ sở $K$ chứa mọi nghiệm của đơn vị, theo giả thiết tồn tại một dãy tăng $(K_i)_0, ...,$ các trường trung gian giữa $K$ và $N$ với $K_0 = K, K_m = N$, trường $K_{i+1}$ thu được bằng phép nối vào $K_i$ tất cả các nghiệm của một phương trình nhị thức $x^{n_i} - a_i = 0$ (với $a_i \in K_i$). Do đó tồn tại trong $\Gamma$ một dãy giảm $(\Gamma_i)$ các nhóm con sao cho $\Gamma_0 = \Gamma, \Gamma_m = \{ E \}$ (phần tử đơn vị), $\Gamma_{i-1}$ chuẩn tắc trong $\Gamma_i$ và nhóm thương $\Gamma_i / \Gamma_{i+1}$ là cyclic (một trường hợp trong đó nhóm $\Gamma$ được gọi là giải được). Ngược lại, khi điều này xảy ra, việc dùng một resolvent của Lagrange cho thấy rằng $K_{i+1}$ thu được từ $K_i$ bằng phép nối tất cả các nghiệm của một phương trình nhị thức và do đó phương trình $F(x) = 0$ giải được bằng căn thức *. Vì thế sự không thể giải bằng căn thức của phương trình « tổng quát » bậc $n > 4$ là một hệ quả của sự kiện rằng nhóm $\Gamma$ của phương trình này, đẳng cấu với nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_n$ (V, p. 59, Ví dụ 5), không giải được (I, p. 142, Bài tập 10 and p. 143, Bài tập 16).

\* Nếu K không chứa mọi nghiệm của đơn vị và nếu E là trường thu được bằng cách nối vào K tất cả các nghiệm ấy, thì $E \cap N$ là một mở rộng Abel của K ; do đó dễ dàng suy ra (dùng cấu trúc của các nhóm Abel hữu hạn) rằng để nhóm của N trên K giải được thì điều kiện cần và đủ là điều đó cũng đúng cho nhóm của E(N) trên E. Ghi nhớ sự kiện rằng các nghiệm của đơn vị có thể biểu diễn « bằng căn thức », ta thấy tiêu chuẩn của Galois không phụ thuộc vào bất kỳ giả thiết nào về trường K (và nói chung đúng cho mọi trường có đặc số 0). Thực ra Galois không đưa ra giả thiết đơn giản hóa nào về K và lập luận bằng quy nạp theo cấp của các căn thức lần lượt được nối vào K ([15], p. 43).

Từ giữa thế kỷ 19, các nhà đại số, như chúng tôi đã nhận xét (xem Ghi chú lịch sử của Chương I), đã mở rộng đáng kể phạm vi các nghiên cứu của mình, mà cho đến khi đó hầu như hoàn toàn bị giới hạn vào việc nghiên cứu các phương trình. Dưới ánh sáng các khám phá của Galois, người ta nhận ra rằng bài toán giải « bằng căn thức » chỉ là một trường hợp riêng phần nào nhân tạo của bài toán tổng quát phân loại các vô tỉ thức. Chính bài toán sau này, trong suốt những năm cuối của thế kỷ 19, đã được tấn công từ nhiều phía khác nhau và nhiều kết quả rời rạc tích lũy dần dần, chuẩn bị con đường cho sự tổng hợp của Steinitz.

Trước hết, đối với các vô tỉ đại số, một nguyên lý phân loại cơ bản đã được cung cấp bởi lý thuyết Galois, lý thuyết này quy việc nghiên cứu một phương trình đại số về việc nghiên cứu nhóm của nó. Vì lý do đó, chính lý thuyết các nhóm hoán vị, mà không phải nhiệm vụ của chúng tôi phải nói đến ở đây (xem Ghi chú lịch sử của Chương I), đã tạo thành trong Đại số thuần túy đối tượng nghiên cứu chính của thời kỳ ấy. Phần tiến bộ còn lại trong lý thuyết các trường đại số là do sự phát triển, đồng thời, của Lý thuyết Số và Hình học Đại số. Thực ra tiến bộ này chủ yếu liên quan đến sự trình bày lý thuyết, và phần lớn là nhờ Dedekind [18], người đã đưa vào các khái niệm trường và vành *, và (liên hệ với các nghiên cứu của ông về các hệ hypercomplex) phát triển một cách có hệ thống phương diện tuyến tính của lý thuyết các mở rộng ([18], quyển 3, p. 33 et seq.). Cũng chính ông là người xem nhóm Galois như gồm các tự đẳng cấu của mở rộng đang xét, chứ không chỉ đơn thuần như một nhóm các phép hoán vị của các nghiệm của một phương trình, và ông chứng minh (đối với các trường số) định lý cơ bản của mình về tính độc lập tuyến tính của các tự đẳng cấu ([18], quyển 3, p. 29) cũng như sự tồn tại của các cơ sở chuẩn tắc của một mở rộng Galois ([18], quyển 2, p. 433). Cuối cùng ông đề cập đến bài toán các mở rộng đại số bậc vô hạn và chú ý rằng lý thuyết Galois không thể được áp dụng nguyên như thế (một nhóm con tùy ý của một nhóm Galois không nhất thiết luôn đồng nhất với nhóm của mở rộng đối với một mở rộng con), và bằng một trực giác táo bạo ông đã thử hình dung nhóm Galois như một nhóm tôpô ** — một ý tưởng chỉ đạt đến độ chín với lý thuyết các mở rộng Galois bậc vô hạn, do Krull phát triển vào năm 1928 [24].

Song song với sự tiến triển này, khái niệm phần tử siêu việt trên một trường được làm cho chính xác. Sự tồn tại của các số siêu việt được Liouville chứng minh lần đầu tiên vào năm 1844, bằng một phép dựng tường minh, dựa trên lý thuyết các phép xấp xỉ Diophantus [17]; Cantor năm 1874 đã cho một chứng minh « không kiến thiết » khác, dùng những suy xét đơn giản về lực lượng của các tập hợp (x. V, p. 147), Ex. 3); cuối cùng Hermite đã chứng minh năm 1873 tính siêu việt của $e$ và Lindemann năm 1882 chứng minh rằng

\* Từ « trường » bắt nguồn từ chính Dedekind; « vành » được Hilbert đưa vào (Dedekind gọi các vành là « orders »). ** « ... Tập hợp của tất cả các phép thế này tạo thành theo một nghĩa nào đó một đa tạp liên tục, một vấn đề mà ở đây chúng tôi sẽ không đi sâu thêm » ([18], vol. 2, p. 288).

của $\pi$ bằng một phương pháp tương tự với phương pháp của Hermite, do đó cuối cùng khép lại cuộc bàn luận về bài toán cổ xưa là cầu phương hình tròn *.

Về vai trò của các số siêu việt trong các phép tính đại số, Kronecker nhận thấy vào năm 1882 rằng nếu $x$ là siêu việt trên một trường $K$, thì trường $K(x)$ đẳng cấu với trường các phân thức hữu tỉ $K(X)$ ([19], a), p. 7). Thực vậy, ông lấy phép nối các bất định nguyên vào một trường làm hòn đá tảng trong trình bày của mình về lý thuyết các số đại số ([19], a)). Mặt khác, Dedekind và Weber trong cùng năm ấy ([18], vol. I, p. 238) chỉ ra rằng các phương pháp số học có thể được dùng để thiết lập một lý thuyết các đường cong đại số. Những phép tương tự giữa Số học và Hình học Đại số, về sau sẽ tỏ ra rất phong phú cho cả hai phía, do đó được thấy là xuất hiện từ nhiều hướng.

Trong tất cả các nghiên cứu ấy, các trường xuất hiện đều gồm những phần tử « cụ thể » theo nghĩa của toán học cổ điển - các số (phức) hoặc các hàm của các biến phức **. Nhưng ngay từ năm 1882, Kronecker đã hoàn toàn ý thức được sự kiện (mà Gauss và Galois chỉ mới thoáng thấy một cách mơ hồ) rằng các « bất định nguyên » trong lý thuyết của ông chỉ đóng vai trò các phần tử cơ sở của một đại số chứ không phải vai trò các biến theo nghĩa của Giải tích ([19], a), p. 93-95); và năm 1887 ông phát triển tư tưởng này, kết hợp với một chương trình rộng lớn nhằm không gì ít hơn là đặt lại nền móng cho toàn bộ toán học bằng cách bác bỏ mọi thứ không thể quy về các phép toán đại số trên các số nguyên (x. Chú ý lịch sử của Quyển I, Chương IV). Chính nhân dịp này, tiếp nhận một ý tưởng của Cauchy [16], người đã định nghĩa trường $\mathbf{C}$ các số phức như trường thặng dư $\mathbf{R}[X]/(X^2 + 1)$, Kronecker chỉ ra lý thuyết các số đại số hoàn toàn độc lập với « định lý cơ bản của đại số », và thậm chí với cả lý thuyết các số thực, vì mọi trường số đại số (có bậc hữu hạn) đều đẳng cấu với một trường thương $\mathbf{Q}[X]/(f)$ (trong đó $f$ là một đa thức bất khả quy trên $\mathbf{Q}$) [19], b). Như H. Weber [20] nhận xét vài năm sau đó khi phát triển một phác thảo đầu tiên của một lý thuyết tiên đề về các trường, phương pháp này của Kronecker thực ra áp dụng được cho mọi trường cơ sở $K$. Weber đặc biệt chỉ ra rằng một trường $\mathbf{Z}/(p)$ ($p$ nguyên tố) có thể được lấy làm $K$, nhờ đó phép tính các đồng dư « modulo p » được bao quát bởi lý thuyết các trường; phép tính trước đó đã thành hình trong nửa sau thế kỷ 18 dưới tay Euler, Lagrange, Legendre và Gauss, và phép tương tự mà nó thể hiện với lý thuyết

\* Các chứng minh đơn giản của những định lý này có thể thấy chẳng hạn trong D. Hilbecht, Gesammelte Abhandlungen. vol. I, p. 1, Berlin (Springer), 1932.

** Cũng như các bậc tiền bối của mình, cả Kronecker lẫn Dedekind và Weber thực ra đều không định nghĩa khái niệm « hàm đại số » của một hay nhiều biến phức. Quả thật không thể định nghĩa đúng một « hàm đại số » của một biến phức (theo nghĩa của Giải tích) trước khi mặt Riemann tương ứng đã được định nghĩa, và chính việc định nghĩa mặt Riemann này (bằng những phương pháp thuần túy đại số) là điều Dedekind và Weber đang cố đạt tới. Vòng luẩn quẩn bề ngoài này dĩ nhiên biến mất khi một trường các « hàm đại số a được định nghĩa như một mở rộng đại số trừu tượng của một trường các phân thức hữu tỉ: thật vậy, chính và chỉ định nghĩa này là điều được Dedekind và Weber dùng đến, điều này rõ ràng hợp thức hóa các kết quả của họ.

các phương trình đại số đã được nhận thấy một cách dễ dàng; khi phát triển phép tương tự ấy, Galois (dưới ánh sáng các nghiên cứu của ông về lý thuyết nhóm) đã không ngần ngại đưa vào các « căn lý tưởng » của một đồng dư bất khả quy modulo $p^*$, và đã chỉ ra các tính chất chủ yếu của chúng ([15], p. 15-23) **. Khi áp dụng phương pháp của Kronecker cho $\mathbf{Z}/(p)$, kết quả thu được là (trừ thuật ngữ) cách trình bày mà Serret và Dedekind ([18], vol. I, p. 40) đã cho trước đó về những « số ảo Galois » này.

Vào những ví dụ ấy của các « trường trừu tượng », đến bước ngoặt của thế kỷ còn được thêm vào trường các chuỗi lũy thừa hình thức do Veronese đưa vào [21] và nhất là các trường p-adic của Hensel [22]. Chính việc phát hiện ra các trường sau này đã dẫn Steinitz (như ông nói một cách tường minh) đến chỗ tách ra các khái niệm trừu tượng chung cho tất cả các lý thuyết ấy, trong một bài báo cơ bản [23] có thể được xem như đã làm nảy sinh quan niệm hiện hành về Đại số. Phát triển một cách có hệ thống các hệ quả của các tiên đề của trường giao hoán, do đó ông đưa vào các khái niệm trường nguyên tố, phần tử (đại số) tách được, trường hoàn hảo, ông định nghĩa bậc siêu việt của một mở rộng và cuối cùng chứng minh sự tồn tại của các mở rộng đóng đại số của một trường tùy ý.

Gần đây hơn, lý thuyết của Steinitz đã được hoàn thiện trên nhiều phương diện quan trọng. Một mặt, công trình của Artin đã làm nổi bật đặc trưng tuyến tính của lý thuyết Galois [25]. Mặt khác, khái niệm tổng quát về đạo hàm (được xây dựng theo các tính chất hình thức của phép tính Vi phân cổ điển) được Dedekind cảm nhận ([18], vol. 2, p. 412), được Steinitz đưa vào trong trường hợp riêng của một trường các phân thức hữu tỉ ([23], p. 209-212), đã được dùng thành công trong việc nghiên cứu các mở rộng siêu việt (cốt yếu đối với Hình học Đại số hiện đại), và đặc biệt trong phép tổng quát hóa khái niệm tính khả phân cho các mở rộng này [26].

\* Trong một bản thảo có lẽ vào khoảng năm 1799 nhưng chỉ được công bố sau khi ông mất, Gauss đã có ý tưởng đưa vào những « số ảo » như thế, và ông thu được một phần đáng kể các kết quả của Galois ([13], vol. II, p. 212-240 đặc biệt là p. 217).

** Galois hoàn toàn ý thức được đặc trưng hình thức của các phép tính đại số này và, chẳng hạn, ông không ngần ngại lấy đạo hàm của vế trái của một đồng dư để chỉ ra rằng đồng dư sau không có nghiệm « ảo » bội ([IS], p. 18). Đặc biệt, ông nhấn mạnh rằng định lý về phần tử nguyên thủy cũng đúng đối với một trường hữu hạn như đối với một trường số ([15], p. 17, chú ý ²), tuy nhiên không đưa ra một chứng minh.

Thư mục

1. O. Neugebauer, Vorlesungen uber Geschichte der antiken Mathematik, Bd. I : Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer), 1934. 2. Euclidis Elementa, 5 vol., ed. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner), 1883-88. 2 bis. T. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements..., 3 vol., Cambridge, 1908. 3. H. Cardano, Opera, Lyon, 1663. 4. R. Bombelli, L'Algebra, Bologne (G. Rossi), 1572. 5. Francisci Vietae, Opera mathematica..., Lugduni Batavorum (Elzevir), 1646. 6. A. Girard, Invention nouvelle en Algèbre, Amsterdam, 1629. 7. R. Descartes, Geometria, Latin transl. by Fr. van Schooten, 2 ed., 2 vol., Amsterdam (Elzevir), 1659-61. 8. G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, ed. C. I. Gerhardt, 7 vol., Berlin-Halle (Ascher-Schmidt), 1849-63. 9. Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern, herausg. von C. I. Gerhardt, vol. I, Berlin (Mayer und Müller), 1899. 10. L. Euler, Opera Omnia (1), vol. VI, Berlin-Leipzig (Teubner), 1921 : a) De Formis Radicum Aequationum..., p. 1-19 ; b) De Resolutione Aequationum cujusvis gradus, p. 170-196. 11. J.-L. Lagrange, Œuvres, t. III, Paris (Gauthier-Villars), 1869 : a) Reflexions sur la resolution algébrique des equations, p. 205-421 ; b) Sur la forme des racines imaginaires des équations, p. 479. 12. A. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des equations, Hist. de l'Acad. royale des sciences, année 1771, Paris (1774), p. 365-416. 13. C. F. Gauss, Werke, vol. I-X, Gottingen, 1863-1923. 14. N. H. Abel, Œuvres, 2 vol., ed. Sylow et Lie, Christiania, 1881. 15. E. Galois, Œuvres mathématiques, Paris (Gauthier-Villars), 1897. 16. A.-L. Cauchy, Œuvres complètes (1), t. X, Paris (Gauthier-Villars), 1897, p. 312 et 351. 17. J. Liouville, Sur des classes très étendues de quantites dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, Journ. de Math. (1), t. XVI (1851), p. 133. 18. R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, 3 vol., Braunschweig (Vieweg), 1932. 19. L. Kkonecker : a) Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen, Crelle's J., XCII (1882), p. 1-122 (= Werke, vol. II, Leipzig (Teubner), 1897, p. 245-387) ; b) Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, Crelle's J., C (1887), p. 490-510 (= Werke, vol. III₁, Leipzig (Teubner), 1899, p. 211-240). 20. H. Weber, Untersuchungen über die allgemeinen Grundlagen der Galoisschen Gleichungstheorie, Math. Ann., vol. XLIII (1893), p. 521-544. 21. G. Veronese, Fondamenti di geometria, Padova. 1891. 22. K. Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig-Berlin (Teubner), 1908. 23. E.-Steinitz, Algebraische Theorie der Korper, Crelle's J., vol. CXXXVII (1910), p. 167-309. 24. W. Krull, Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen, Math. Ann., vol. C (1928), p. 687. 25. E. Artin, Galois Theory..., Ann Arbor, 1946. 26. A. Weil, Foundations of algebraic geometry, Amer. Math. Soc. Coll. Public., vol. XXIX, New York, 1946.