Bài tập 2, § 1

Cho $m, n$ là các số nguyên sao cho $0 \leq n \leq m$. Cho $p$ là một số nguyên tố và cho $m = a_r + \alpha_1 p + \ldots + \alpha_n p'$ và $n = \beta_0 + \beta_1 p + \ldots + \beta_n p'$ là các khai triển của $m$ và $n$ theo cơ sở $p$, trong đó ta có $0 \leq \alpha_i < p, \ 0 \leq \beta_i < p$ với $0 \leq i \leq r$; giả sử rằng $a_r \neq 0$. Chứng minh rằng $\binom{m}{n} \equiv 0 \pmod{p}$ nếu $\beta_i > a_r$ đối với ít nhất một chỉ số $i$. Mặt khác, nếu $\beta_i \leq \alpha_i$ với $0 \leq i \leq r$, thì

(Trong $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})[X]$ ta có $(1 + X)^m = (1 + X)^{\alpha_0}(1 + X^p)^{\alpha_1} \ldots (1 + X^{p'})^{\alpha_r}$.)