Exercice 2, § 1

Soient $m, n$ des entiers tels que $0 \leq n \leq m$. Soit $p$ un nombre premier, et soient $m = \alpha_0 + \alpha_1 p + \cdots + \alpha_r p^r$ et $n = \beta_0 + \beta_1 p + \cdots + \beta_r p^r$ les développements de base $p$ de $m$ et $n$, où l’on a donc $0 \leq \alpha_i < p, 0 \leq \beta_i < p$ pour $0 \leq i \leq r$; on suppose $\alpha_r \neq 0$. Montrer que l’on a $\binom{m}{n} \equiv 0 \mod p$ si l’on a $\beta_i > \alpha_i$ pour un indice $i$ au moins. Si, au contraire, $\beta_i \leq \alpha_i$ pour $0 \leq i \leq r$, on a

(Dans $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})[X]$ on a $(1 + X)^m = (1 + X)^{\alpha_0}(1 + X^p)^{\alpha_1} \ldots (1 + X^{p^r})^{\alpha_r}$.)