Bài tập 3, § 1

Cho $A$ là một vành giao hoán. Với mọi đa thức $f \in A[X]$ ta viết trong vành đa thức $A[X, Y]$ gồm các đa thức theo hai bất định trên $A$,

khi đó $\Delta$ là một ánh xạ $A$-tuyến tính từ $A[X]$ vào chính nó. a) Nếu $Z$ là một bất định và $\tau_Z$ là ánh xạ $A$-tuyến tính từ $A[X]$ vào $A[X, Z]$ sao cho $\tau_Z f = f(X + Z)$, hãy chứng minh rằng $\tau_Z \circ \Delta = \Delta \circ \tau_Z$ (trong đó ở vế phải $\Delta$ là ánh xạ được định nghĩa ở trên trong vành $B[X]$, ở đây $B = A[Z]$). Suy ra rằng trong $A[X]$ ta có

với các số nguyên $m, n \geq 0$ (xem IV, p. 8). b) Giả sử rằng $A$ là một vành có đặc số $p > 0$ và với mỗi số nguyên $k \geq 0$ đặt $D_k = \Delta_{p^k}$. Hãy chứng minh rằng nếu $f \in A[X]$ và $g \in A[X^{p^k}]$ thì $D_k(fg) = g \cdot D_k f + f \cdot D_k g$. Mọi đa thức $f \in A[X]$ đều có thể viết một cách duy nhất dưới dạng $f(X) = \sum_{m=0}^{\infty} X^{mp^k} g_m(X)$ với $\deg(g_m) < p^k$; hãy chứng minh rằng

và suy ra rằng $D_k^p = 0$.

c) Với mọi số nguyên $m > 0$ đặt $m = \alpha_0 + \alpha_1 p + \ldots + \alpha_k p^k$ là khai triển của $m$ theo cơ sở $p$ (Lý thuyết Tập hợp, III, p. 177), trong đó do đó $0 \leq a, < p$ với $0 \leq j \leq k$; giả sử rằng $a_j \neq 0$. Hãy chứng minh rằng

(Nếu $\Delta'_m$ là vế phải của quan hệ này, hãy chú ý rằng nếu ta đưa vào khai triển $f(X + Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) X^q$, ta có $\Delta'_m f(X + Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) \Delta'_m(X^q)$ và suy ra rằng điều này có thể được viết thành $\Delta'_m f(X + Y) = f_m(X) + Yg(X, Y)$, trong đó $g$ là một đa thức.)