Exercice 3, § 1

Soit A un anneau commutatif. Pour tout polynôme $f \in A[X]$, on pose dans l’anneau $A[X, Y]$ des polynômes à deux indéterminées sur A,

$\Delta_m$ étant donc une application A-linéaire de $A[X]$ dans lui-même. a) Si Z est une indéterminée, et $\tau_Z$ l’application A-linéaire de $A[X]$ dans $A[X, Z]$ telle que $\tau_Z f = f(X + Z)$, montrer que l’on a $\tau_Z \circ \Delta_m = \Delta_m \circ \tau_Z$ (où au second membre $\Delta_m$ est l’application définie ci-dessus dans l’anneau $B[X]$, où $B = A[Z]$). En déduire que, dans $A[X]$, on a pour $m, n$ entiers $\geq 0$ (cf., IV, p. 7).

b) On suppose que A est un anneau de caractéristique $p > 0$, et pour tout entier $k \geqslant 0$, on pose $D_k = \Delta_{p^k}$. Montrer que, si $f \in A[X]$ et $g \in A[X^{p^k}]$, on a $D_k(fg) = g.D_kf + f.D_kg$.

Tout polynôme $f \in A[X]$ s’écrit d’une seule manière $f(X) = \sum_{m=0}^{\infty} X^{mp^k} g_m(X)$, où $\deg(g_m) < p^k$; montrer que l’on a

et en déduire que $D_k^p = 0$.

c) Pour tout entier $m > 0$, soit $m = \alpha_0 + \alpha_1 p + \cdots + \alpha_k p^k$ le développement de base $p$ de $m$ (E, III, p. 40), où l’on a donc $0 \leq \alpha_j < p$ pour $0 \leq j \leq k$; on suppose $\alpha_k \neq 0$. Montrer que l’on a

(Si $\Delta'_m$ est le second membre de cette relation, remarquer que si l’on introduit le développement $f(X+Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) X^q$, on a $\Delta'_m f(X+Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) \Delta'_m(X^q)$ et en déduire que l’on peut écrire $\Delta'_m f(X+Y) = f_m(X) + Yg(X,Y)$, où $g$ est un polynôme.)