Bài tập 10, § 12

Cho t, $n$, k là ba số nguyên $\geq 1$ sao cho $t \leq n$ và $n$ chia hết $2^k - 1$. Gọi S là tập hợp nhỏ nhất các số nguyên sao cho $(1, t) \subset S \subset (1, n)$ và điều kiện « i $\in S$, $2i \equiv j \pmod{n}$ and $1 \leq j \leq n$ » kéo theo $j \in S$. Đặt $m = \mathrm{Card}\ S$. Gọi $\xi$ là một phần tử cấp $n$ của $\mathbf{F}_{2^k}^*$ và đặt $P(X) = \prod_{j \in S} (X - \xi^j)$. a) Chứng minh rằng $P(X) \in \mathbf{F}_2[X]$. b) Chỉ ra rằng nếu $R(X) \in \mathbf{F}_2[X]$ có bậc $< n$ và là một bội khác không của $P(X)$, thì có nhiều hơn hẳn t hệ số khác không. c) Suy ra phép dựng của một ánh xạ $Q : \mathbf{F}_2^n \to \mathbf{F}_2^m$ sao cho nếu $u, v \in \mathbf{F}_2^n$ phân biệt và có nhiều nhất t tọa độ phân biệt thì $Q(u) \equiv Q(v)$. d) Tính S, $m$ và P khi $t = 6,\ n = 15,\ k = 4$.