Bài tập 15, § 14

a) Cho K là một trường và L là một trường con của K sao cho K là một đại số trên L sinh hữu hạn, nói cách khác $K = L[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ với các phần tử thuộc K. Hãy chỉ ra rằng các $a_i$ là đại số trên L. (Lập luận bằng phản chứng: nếu $a_1, \ldots, a_m$ ($m \geq 1$) tạo thành một họ con tự do đại số cực đại của $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$, hãy nhận thấy rằng trong vành $A = L[a_1, \ldots, a_n]$ giao của mọi iđêan khác không được rút về không, và dùng Bài tập 5 của V, p. 147.) b) Từ a), hãy suy ra rằng trong đại số đa thức $K[X_1, \ldots, X_n]$ mọi iđêan cực đại đều có đối chiều hữu hạn trên K. Kết luận rằng nếu A là một đại số giao hoán sinh hữu hạn trên K, thì mọi trường con của A chứa K đều có bậc hữu hạn trên K.