Exercice 15, § 14

a) Soient K un corps, L un sous-corps de K tel que K soit une L-algèbre de type fini, autrement dit $K = L[a_1, a_2, ..., a_n]$ pour des éléments de K. Montrer que les $a_j$ sont algébriques sur L. (Raisonner par l’absurde : si $a_1, ..., a_m$ ($m \geq 1$) forment une sous-famille algébriquement libre maximale de $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$, remarquer que dans l’anneau $A = L[a_1, ..., a_m]$, l’intersection de tous les idéaux $\neq \{0\}$ est réduite à 0, et utiliser l’exerc. 5 de V, p. 141.) b) Déduire de a) que dans l’algèbre de polynômes $K[X_1, ..., X_n]$ tout idéal maximal est de codimension finie sur K. En conclure que si A est une algèbre commutative sur K, de type fini, tout sous-corps de A contenant K est de degré fini sur K.