Bài tập 16, § 14

a) Cho K là một trường đóng đại số, $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của K, E là một mở rộng con của $\Omega$ và x là một phần tử của $\Omega$ siêu việt trên E. Gọi $\overline{K(x)}$ là bao đóng đại số tương đối của $K(x)$ trong $\Omega$ và đặt $M = E(\overline{K(x)})$; chứng minh rằng M là một mở rộng đại số bậc vô hạn của $E(x)$. (Hãy nhận thấy rằng với mọi số nguyên $m > 1$ đa thức $X^m - x$ là bất khả quy trong $E(x)[X]$ (V, p. 91, Nhận xét). b) Cho E là một trường đóng đại số và F là một mở rộng sinh hữu hạn của E. Chứng minh rằng mọi trường con đóng đại số của F đều tất yếu được chứa trong E. (Nếu không thì sẽ tồn tại một trường con $L \subset F$ đóng đại số và một phần tử $x \in L$ siêu việt trên E. Hãy áp dụng a), lấy K là bao đóng đại số tương đối trong E của trường con nguyên tố của E, và chú ý rằng M phải sinh hữu hạn trên E.)