Exercice 16, § 14

*a) Soient K un corps algébriquement clos, $\Omega$ une extension algébriquement close de K, E une sous-extension de $\Omega$, x un élément de $\Omega$ transcendant sur E. Soit $\overline{K(x)}$ la fermeture algébrique de K(x) dans $\Omega$, et soit M = E($\overline{K(x)}$); montrer que M est une extension algébrique de degré infini de E(x). (Observer que pour tout entier $m > 1$, le polynôme $X^m - x$ est irréductible dans E(x) [X] (V, p. 87, remarque). b) Soient E un corps algébriquement clos, F une extension de type fini de E. Montrer que tout sous-corps algébriquement clos de F est nécessairement contenu dans E. (Dans le cas contraire, il existerait un sous-corps $L \subset F$ algébriquement clos et un élément $x \in L$ transcendant sur $E$. Appliquer a) en prenant pour $K$ la fermeture algébrique dans $E$ du sous-corps premier de $E$ et en notant que $M$ devrait être de type fini sur $E.$)