Bài tập 18, § 14

Cho K là một trường và $K((X))$ là trường các chuỗi lũy thừa hình thức theo một bất định trên K (IV, p. 38). Hãy chứng minh rằng $\operatorname{tr.} \deg_K K((X)) = \operatorname{Card}(K^N)$. Phân biệt hai trường hợp: a) Nếu $\operatorname{Card}(K) < \operatorname{Card}(K^N)$, hãy chú ý rằng $\operatorname{Card}(K((X))) = \operatorname{Card}(K^N)$. b) Nếu $\operatorname{Card}(K) = \operatorname{Card}(K^N)$, gọi P là trường con nguyên tố của K, S là một tập vô hạn các phần tử của $K((X))$ độc lập đại số trên K và T là tập hợp các hệ số của mọi chuỗi lũy thừa hình thức thuộc S. Gọi L là bao đóng đại số tương đối trong

K((X)) của trường K(S) và u là một phần tử của L ; có một phương trình $g(s_1, ..., s_m, u) = 0$ trong đó $g \neq 0$ là một đa thức của $K[X_1, ..., X_n, X_{m+1}]$ và $s_1, ..., s_m$ là các phần tử của S. Gọi A là tập hợp các hệ số của đa thức g và $C(u)$ là tập hợp các hệ số của chuỗi lũy thừa hình thức u ; hãy chứng minh rằng trường P(T)(A U C(u)) là đại số trên P(T U A ) (ký hiệu $\Omega$ là một bao đóng đại số của K, hãy chứng minh rằng nếu không thì sẽ tồn tại vô hạn chuỗi lũy thừa hình thức $v \in \Omega((X))$ thỏa mãn phương trình $g(s_1, ..., s_m, v) = 0$. Dùng Bài tập 1, hãy chứng minh rằng nếu Card(S) < Card(K), thì bậc siêu việt của K trên P(T) là vô hạn và suy ra rằng trong trường hợp này L phân biệt với K((X)) (nếu $(t_n)_{n \geq 0}$ là một dãy vô hạn các phần tử của K độc lập đại số trên P(T), hãy xét chuỗi lũy thừa hình thức $\sum_{n=0}^{\infty} t_n X^n$).