Exercice 18, § 14

Soient $K$ un corps, $K((X))$ le corps des séries formelles à une indéterminée sur $K$ (IV, p. 36). Montrer que l’on a $\deg.\operatorname{tr}_K K((X)) = \operatorname{Card}(K^N)$. On distinguera deux cas : a) Si $\operatorname{Card}(K) < \operatorname{Card}(K^N)$, remarquer que $\operatorname{Card}(K((X))) = \operatorname{Card}(K^N)$. b) Si $\operatorname{Card}(K) = \operatorname{Card}(K^N)$, soient $P$ le sous-corps premier de $K$, $S$ un ensemble infini d’éléments de $K((X))$, algébriquement indépendants sur $K$, $T$ l’ensemble des coefficients de toutes les séries formelles appartenant à $S$. Soient $L$ la fermeture algébrique dans $K((X))$ du corps $K(S)$, $u$ un élément de $L$; il y a une équation $g(s_1, ..., s_m, u) = 0$, où $g \neq 0$ est un polynôme de $K[X_1, ..., X_m, X_{m+1}]$ et $s_1, ..., s_m$ des éléments de $S$. Soient $A$ l’ensemble des coefficients du polynôme $g$, $C(u)$ l’ensemble des coefficients de la série formelle $u$; montrer que le corps $P(T)$ ($A \cup C(u)$) est algébrique sur $P(T \cup A)$ (dans le cas contraire, en désignant par $\Omega$ une clôture algébrique de $K$, montrer qu’il existerait une infinité de séries formelles $v \in \Omega((X))$ vérifiant l’équation $g(s_1, ..., s_m, v) = 0$). En utilisant l’exerc. 1, montrer que si $\operatorname{Card}(S) < \operatorname{Card}(K)$, le degré de transcendance de $K$ sur $P(T)$ est infini, et en déduire que dans ce cas $L$ est distinct de $K((X))$ (si $(t_n)_{n \geq 0}$ est une suite infinie d’éléments de $K$ algébriquement indépendants sur $P(T)$, considérer la série formelle $\sum_{n=0}^\infty t_n X^n$).