Bài tập 2, § 14

Cho K là trường $\mathbf{Q}(X)$ các phân thức hữu tỉ theo một bất định trên trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ. Chứng minh rằng trong vành $K[Y]$, đa thức $Y^2 + X^2 + 1$ là bất khả quy và nếu E là mở rộng của K sinh bởi một nghiệm của đa thức này (trong một bao đóng đại số của

K), thì Q là đóng đại số tương đối trong E nhưng E không phải là một mở rộng thuần túy của Q. (Để thấy rằng trong E không có phần tử a $\notin$ Q đại số trên Q, hãy chú ý rằng sự tồn tại của một phần tử như vậy sẽ kéo theo quan hệ $E = \mathbf{Q}(a)(X)$, và nhận thấy rằng $- (X^2 + 1)$ không phải là một bình phương trong $\Omega(X)$, trong đó $\Omega$ là một bao đóng đại số của Q.) Chứng minh rằng nếu i là một nghiệm của $X^2 + 1$, thì $E(i)$ là một mở rộng siêu việt thuần túy của $\mathbf{Q}(i)$.