Exercice 2, § 14

Soit K le corps Q(X) des fractions rationnelles à une indéterminée sur le corps Q des nombres rationnels. Montrer que, dans l’anneau K[Y], le polynôme Y² + X² + 1 est irréductible, et que si E est l’extension de K engendrée par une racine de ce polynôme (dans une clôture algébrique de K), Q est algébriquement fermé dans E, mais E n’est pas une extension pure de Q. (Pour voir qu’il n’existe dans E aucun élément a ∉ Q algébrique sur Q, remarquer que l’existence d’un tel élément entraînerait la relation E = Q(a)(X), et observer que −(X² + 1) n’est pas un carré dans Ω(X), où Ω est une clôture algébrique de Q.) Montrer que si i est une racine de X² + 1, E(i) est une extension transcendante pure de Q(i).