Bài tập 20, § 14

Cho n là một số nguyên, K là một trường có đặc số p nguyên tố cùng nhau với n, chứa các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, $\mu_n \subset K^*$ là nhóm con các căn bậc n của đơn vị, G là một nhóm giao hoán hữu hạn bị triệt tiêu bởi n và $A = K^{(G)}$ là đại số nhóm của G (III, p. 446). a) Chứng minh rằng A là một đại số chéo hóa được (V, p. 28). (Phân tích G thành một tổng trực tiếp các nhóm cyclic (VII, p. 22).) Suy ra rằng mọi A-môđun là một tổng trực tiếp của các môđun là các không gian vectơ trên K có chiều 1. b) Cho V là một A-môđun có số chiều hữu hạn trên K, S là đại số đối xứng của không gian vectơ trên K V và F là trường phân thức của S. Nhóm G tác động trên V, do đó trên S và F. Giả sử rằng G tác động trung thành trên V. Chứng minh rằng G tác động trung thành trên F. Tính [F : F^G]. c) Cho $(x_1, ..., x_r)$ là một cơ sở của không gian vectơ trên K V gồm các vectơ riêng đối với tác động của G. Cho $\Gamma$ là nhóm con của F* sinh bởi $x_1, ..., x_n$. Chứng minh rằng $\Gamma$ là một nhóm giao hoán tự do và đại số con trên K B của F sinh bởi $\Gamma$ có thể được đồng nhất với $K^{(\Gamma)}$ và ổn định dưới tác động của G. d) Với mọi $x \in \Gamma$, ánh xạ $\gamma \mapsto \frac{\gamma x}{x}$ là một đồng cấu từ G vào $\mu_n$, do đó cho một đồng cấu $0 : \Gamma \to \mathrm{Hom}(G, p.)$. Chứng minh rằng 0 là toàn ánh. Đặt $\Gamma_1 = \mathrm{Ker}(0)$. Dùng định lý về các ước sơ cấp (VII, p. 24), chứng minh rằng B là một $K^{(\Gamma_1)}$-môđun tự do hạng Card(G). e) Bằng cách chuyển qua trường phân thức, suy ra từ d) và a) rằng $F^G$ là trường phân thức của $K^{(\Gamma_1)}$. Suy ra rằng $F^G$ là một mở rộng siêu việt thuần túy của K. \*