Exercice 20, § 14

Soient $n$ un entier, $K$ un corps de caractéristique $p$ première à $n$, possédant des racines primitives $n$-ièmes de l’unité, $\mu_n \subset K^*$ le sous-groupe des racines $n$-ièmes de l’unité, $G$ un groupe commutatif fini annulé par $n$, $A = K^{(G)}$ l’algèbre du groupe $G$ (III, p. 19). a) Montrer que $A$ est une algèbre diagonalisable (V, p. 28). (Décomposer $G$ en somme directe de groupes cycliques (VII, p. 22).) En déduire que tout $A$-module est somme directe de modules qui sont des $K$-espaces vectoriels de dimension 1. b) Soient $V$ un $A$-module de dimension finie sur $K$, $S$ l’algèbre symétrique du $K$-espace vectoriel $V$, $F$ le corps des fractions de $S$. Le groupe $G$ opère sur $V$, donc sur $S$ et $F$. On suppose que $G$ opère fidèlement sur $V$. Montrer que $G$ opère fidèlement sur $F$. Calculer $[F : F^G]$. c) Soit $(x_1, ..., x_n)$ une base du $K$-espace vectoriel $V$, formée de vecteurs propres pour l’action de $G$. Soit $\Gamma$ le sous-groupe de $F^*$ engendré par $x_1, ..., x_n$. Montrer que $\Gamma$ est un groupe commutatif libre et que la sous-$K$-algèbre $B$ de $F$ engendrée par $\Gamma$ s’identifie à $K^{(\Gamma)}$ et est stable par l’opération de $G$. d) Pour tout $x \in \Gamma$, l’application $\gamma \mapsto \frac{\gamma x}{x}$ est un homomorphisme de $G$ dans $\mu_n$ d’où un homomorphisme $\theta : \Gamma \to \operatorname{Hom}(G, \mu_n)$. Montrer que $\theta$ est surjectif. Posons $\Gamma_1 = \operatorname{Ker}(\theta)$. En utilisant le théorème des diviseurs élémentaires (VII, p. 24) montrer que $B$ est un $K^{(\Gamma_1)}$-module libre de rang $\operatorname{Card}(G)$. e) En passant aux corps des fractions, déduire de d) et a) que $F^G$ est le corps des fractions de $K^{(\Gamma_1)}$. En déduire que $F^G$ est une extension transcendante pure de $K$. \*