Bài tập 3, § 14

Cho K là trường $\mathbf{C}(X)$ các phân thức hữu tỉ theo một ẩn trên trường C (đóng đại số) các số phức. Hãy chỉ ra rằng trong vành $K[Y]$, đa thức $Y^3 + X^3 + 1$ là bất khả quy; gọi E là mở rộng của K sinh bởi một nghiệm của đa thức này (trong một bao đóng đại số của K). Hãy chỉ ra rằng E không phải là một mở rộng thuần của C, mặc dù C đóng đại số. (Hãy chỉ ra rằng không thể tồn tại một quan hệ $u^3 + v^3 + w^3 = 0$ giữa ba đa thức u, v, w của $\mathbf{C}[X]$, nguyên tố cùng nhau từng đôi một và không phải cả ba đều hằng. Lập luận bằng phản chứng: nếu r là bậc lớn nhất trong các bậc của u, v, w và nếu chẳng hạn $\deg(w) = r$, thì suy ra từ quan hệ

trong đó j là một căn bậc ba nguyên thủy của đơn vị, sự tồn tại của ba đa thức $u_1, v_1, w_1$ trong $\mathbf{C}[X]$, nguyên tố cùng nhau từng đôi một, không phải cả ba đều hằng, có bậc < r và sao cho $u_1^3 + v_1^3 + w_1^3 = 0.$ \*