Exercice 3, § 14

Soit K le corps C(X) des fractions rationnelles à une indéterminée sur le corps (algébriquement clos) C des nombres complexes. Montrer que dans l’anneau K[Y], le polynôme Y³ + X³ + 1 est irréductible ; soit E l’extension de K engendrée par une racine de ce polynôme (dans une clôture algébrique de K). Montrer que E n’est pas une extension pure de C, bien que C soit algébriquement clos. (Montrer qu’il est impossible qu’il existe une relation u³ + v³ + w³ = 0 entre trois polynômes u, v, w de C[X], premiers entre eux deux à deux et dont un au moins n’est pas une constante. Pour cela, raisonner par l’absurde : si r est le plus grand des degrés de u, v, w et si par exemple deg(w) = r, déduire de la relation

où j est une racine cubique primitive de l’unité, qu’il existerait trois polynômes u₁, v₁, w₁ de $\mathbf{C}[X]$, premiers entre eux deux à deux, dont un au moins n’est pas constant, ayant des degrés $< r$, et tels que $u_1^3 + v_1^3 + w_1^3 = 0.$ \*