Bài tập 4, § 14

Cho $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của một trường K, có bậc siêu việt vô hạn trên K. a) Chứng minh rằng tồn tại vô số K-endomorphism của $\Omega$ có ảnh là các trường con của $\Omega$ phân biệt với $\Omega$, và đối với chúng $\Omega$ có thể có một bậc siêu việt bằng với mọi lực lượng không vượt quá tr . $\deg_K \Omega$. \* Đặc biệt, tồn tại vô số $\mathbf{Q}$-đẳng cấu phân biệt của trường C các số phức lên các trường con của C phân biệt với C. \* b) Chứng minh rằng với mọi mở rộng con E của $\Omega$ sao cho tr . $\deg_K E <$ tr . $\deg_K \Omega$, mọi K-đẳng cấu của E lên một trường con của $\Omega$ đều có thể được mở rộng thành một K-tự đẳng cấu của $\Omega$. Hãy cho các ví dụ trong đó tr , $\deg_K E =$ tr . $\deg_K \Omega$ và trong đó tồn tại một K-đẳng cấu của E lên một trường con của $\Omega$ mà không thể mở rộng thành một K-đẳng cấu của bất kỳ mở rộng F nào của E, được chứa trong $\Omega$ và phân biệt với E, lên một trường con của $\Omega$.