Exercice 4, § 14

Soit $\Omega$ une extension algébriquement close d’un corps $K$, ayant un degré de transcendance infini sur $K$. a) Montrer qu’il existe une infinité de $K$-endomorphismes de $\Omega$, ayant pour images des sous-corps de $\Omega$ distincts de $K$, et par rapport auxquels $\Omega$ peut avoir un degré de transcendance égal à un cardinal quelconque au plus égal à $\deg.\operatorname{tr}_K\Omega$. \* En particulier, il existe une infinité de $\mathbf{Q}$-isomorphismes distincts du corps $\mathbf{C}$ des nombres complexes sur des sous-corps de $\mathbf{C}$ distincts de $\mathbf{C}$. b) Montrer que pour toute sous-extension $E$ de $\Omega$, telle que $\deg.\operatorname{tr}_K E < \deg.\operatorname{tr}_K\Omega$, tout $K$-isomorphisme de $E$ sur un sous-corps de $\Omega$ peut être prolongé en un $K$-automorphisme de $\Omega$. Donner des exemples où $\deg.\operatorname{tr}_K E = \deg.\operatorname{tr}_K\Omega$ et où il existe un $K$-isomorphisme de $E$ sur un sous-corps de $\Omega$ qui ne peut se prolonger en un $K$-isomorphisme d’aucune extension $F$ de $E$ contenue dans $\Omega$ et distincte de $E$, sur un sous-corps de $\Omega$.