Bài tập 7, § 14

Cho E là một mở rộng của một trường K và $\mathrm{Aut}_K(E)$ là nhóm tất cả các K-tự đẳng cấu của E. a) Với mọi mở rộng con L của E trên K sinh hữu hạn, $\mathrm{Aut}_L(E)$ là một nhóm con của $\mathrm{Aut}_K(E)$. Hãy chỉ ra rằng khi L chạy trên tập hợp các mở rộng con của E sinh hữu hạn trên K, các nhóm $\mathrm{Aut}_L(E)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của phần tử đơn vị của $\mathrm{Aut}_K(E)$ đối với một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathrm{Aut}_K(E)$ và theo đó $\mathrm{Aut}_K(E)$ là một nhóm tách biệt và hoàn toàn không liên thông. b) Khi E được trang bị tôpô rời rạc, tôpô của $\mathrm{Aut}_K(E)$ là tôpô thô nhất sao cho ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ từ $\mathrm{Aut}_K(E) \times E$ vào E là liên tục. \* c) Nhóm $\mathrm{Aut}_\mathbf{Q}(\mathbf{R})$ thu về phần tử đơn vị (V, p. 153, Bài tập 2 của § 9). d) Gọi $K_0 \supset K$ là mở rộng con của E gồm các phần tử bất biến dưới mọi K-tự đẳng cấu của E. Hãy chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để E là đại số trên $K_0$ là $\mathrm{Aut}_K(E)$ phải compact. e) Giả sử rằng K là vô hạn. Nếu $E = K(X)$, trường phân thức theo một bất định trên K, hãy chỉ ra rằng $\mathrm{Aut}_K(E)$ là một nhóm vô hạn rời rạc (V, p. 148, Bài tập 11). Nếu K có đặc số 0, nhóm con $\Gamma$ của $\mathrm{Aut}_K(E)$ sinh bởi tự đẳng cấu $\sigma : X \mapsto X + 1$ là đóng trong $\mathrm{Aut}_K(E)$ và phân biệt với nhóm sau, nhưng có cùng trường các phần tử bất biến.